在腔衰荡光谱技术^{[14, 15]}中, 光线在含有两高反镜的腔体中来回反射, 并由于气体吸收等损耗逐渐衰减; 由后腔高反镜透射出的光谱来确定腔内气体的浓度信息。 其中强度变化可用Beer-Lambert定律描述, 即

In=I0R2nexp(-2nαd)(1)

式(1)中, I_n是n次反射后后腔高反镜透射出的脉冲光强, I₀为第一次透射出的脉冲光强, R是高反镜的反射率, d是气体在腔体中填充的长度, α 是腔内气体的吸收系数。 经过多次反射接收到的光强序列, 便是呈指数变化离散的衰荡信号。 若腔内处于零空气状态, 出射光强衰减为初始的1/e所消耗的时间为本底衰荡时间τ _o; 若存在样气, 则为衰荡时间τ 。 由此可得

cA=RLcσAIτ-Iτo(2)

式(2)中, c_A为气体浓度, c是光速, σ _A是气体的吸收截面, R_L是总腔长与样气存在时长度的比值。 CRDS系统的探测灵敏度主要取决于系统的本底衰荡时间及其标准偏差, 系统探测灵敏度^[16]可表示为

[A]min≈RLcσ2σ(τ0)τ02(3)

式(3)中, [A]_min为可探测的气体最小浓度值, 即最低检测限, σ (τ ₀)是τ ₀的标准偏差。

卡尔曼滤波以多个衰荡信号拟合出的衰荡时间作为处理对象, 预处理估计其中的噪声分量, 预测衰荡时间并且根据状态变化进行校正^[17]。 这种通过将先验信息和观测数据相结合, 并对系统状态进行递推, 可以获得更准确的状态估计值, 从而实现更高的估计精度。 将真实的气体浓度和测得的气体浓度结合起来的表达式为

xn=xn-1+wn-1(4)

Zn=xn+vn(5)

式(4)和式(5)中, x_n-1为气体的真实浓度值, x_n为后一时刻值, w_n-1为气体的过程激励噪声分量, Z_n为测得的浓度值, v_n为观测噪声分量。 所以, 卡尔曼滤波器可分为两个部分: 预测和校正。 这两个部分是一直循环更新的动态过程, 其中包括五个核心步骤方程^{[18, 19]}, 预测部分方程的具体形式

$\hat{x}_{n}=\hat{x}_{n-1}$ (6)

为更新先验估计, 式中 x^n-1为初始时刻的估计值, x^n̅为后一时刻的先验估计值;

$\hat{P}_{n}=P_{n-1}+\sigma_{w}^{2}$ (7)

为更新先验估计误差协方差, 式中P_n-1为初始时刻的误差协方差, P^n为后一时刻的先验误差协方差, σw2为过程激励噪声协方差; 校正部分方程的具体形式为

$K_{n}=\hat{P}_{n} /\left(\hat{P}_{n}+\sigma_{v}^{2}\right)$(8)

$\hat{x}_{n}=\hat{x}_{n}+K_{n} * \left(Z_{n}-\hat{x}_{n}^{-}\right)$(9)

$P_{n}=\left(1-K_{n}\right) * \hat{P}_{n}$(10)

式中, K_n为后一时刻卡尔曼增益, σv2为观测噪声协方差, Z_n为后一时刻的测量值。 上述的两种噪声均为高斯白噪声, 服从正态分布即

$p(w) \sim N(0, Q)$(11)

p(v)~N(0, R)(12)

所以, 过程激励噪声协方差 σw2和观测噪声协方差 σv2可以分别用Q和R表示。 卡尔曼滤波算法中, 需要确定四个初始参数输入上述过程。 首先是输入 x^1, 即初始时刻的估计值, 可以取预处理后的第一个测量值Z₁。 接着是P₁, 即第一个误差协方差, 可以取经验值0.1。 在滤波收敛的情况下, 这两个值对滤波结果影响较小。 相反, 测量噪声协方差R和过程激励噪声协方差Q的取值则会很大程度影响到滤波效果, R值一般可以由测量结果得到, 而Q值却难以获取^{[20, 21, 22]}。

对于R, 由于受测量噪声影响较大, 可以利用测量结果进行噪声滤波预处理获取。 利用中值滤波和高斯滤波将测量结果中的噪声分量滤出, 求取方差来得到R的估计值。 本工作着重在得到R的估计值后, 对Q取值的效果从不同方面比较、 分析和评定。

在CRDS系统中, 接收到的信号是呈指数衰减的离散强度值, 由于一些不稳定因素, 信号曲线会产生噪声抖动。 如图1所示, 模拟的衰荡信号设置信号参数如下: 采样频率为1 MHz, 采样点数为250个, 拟合起始点为第3到200个, 衰荡时间真值为22.5 μ s。 添加均匀白噪声, 噪声水平为0.05。

图1

Fig.1

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	图1 模拟衰荡信号Fig.1 Simulated ring-down signal

对衰荡信号采用线性回归总和法(LRS)进行拟合^[23], 获取10 000个含5%噪声水平拟合出的本底衰荡时间。 预处理的R值为0.27, Q值分别取0.1、 0.001和1× 10^-10进行卡尔曼滤波处理。 从图2滤波前后对比可以看出, 滤波前的噪声波动较大, 而滤波后明显减小, 存在明显的降噪作用。 随Q值的变化滤波后的波动也会发生改变, 三者比较发现, Q值越小, 滤波后的波动也越小, 并且与真值结果趋于重合。 从表1可以看出, 在不同Q值下过滤后的相对误差较小, 并且标准偏差也有减小趋势。 根据式(3)可以得到, CRDS系统测量气体浓度时, 降低本底衰荡时间的标准偏差可以提高系统检测灵敏度, 这对评估系统的性能十分重要。

图2

Fig.2

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	图2 本底衰荡时间滤波前后与真值对比Fig.2 Comparison of background ring-down time before and after filtering with true value

表1

Table 1

表1(Table 1)

表1 卡尔曼滤波前后的相对误差和标准偏差 Table 1 Relative errors and standard deviations before and after Kalman filtering 评价指标 相对误差/% 标准偏差/μ s 过滤前 0.20 0.53 Q=0.1 0.18 0.25 Q=0.001 0.18 0.09 Q=1× 10-10 0.18 0.02

表1 卡尔曼滤波前后的相对误差和标准偏差 Table 1 Relative errors and standard deviations before and after Kalman filtering

为进一步探究卡尔曼滤波对本底衰荡时间的处理效果, 以10进制中的不同数量级获取不同Q值, 相对误差和标准偏差比较和分析滤波结果, 如图3所示。 过滤后Q值在大于1× 10^-7时相对误差会有增大趋势, Q值大于1× 10^-3后变化平缓, 但基本都在0.2%以下。 Q值大于1× 10^-7时标准偏差呈指数上升趋势, Q值小于1× 10^-7则基本稳定在0.02, 与过滤前的0.53相比, 检测限可提升约26倍。 实际测量中, 由于噪声水平分量的不同, 滤波后的效果也会不同。

图3

Fig.3

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	图3 不同Q值过滤本底衰荡时间Fig.3 Filtering background ring-down time with different Q values

与本底衰荡时间不同的是, 衰荡时间是反映实时浓度变化的重要参数, 此时的衰荡信号在噪声水平不变的前提下, 有一定的实时响应的幅度变化。 如图4所示, 模拟出2 000个噪声水平为0.05、 有变化梯度的衰荡信号的衰荡时间。 选取Q值为0.01的卡尔曼滤波后, 明显减小了噪声抖动, 前后响应基本一致。

图4

Fig.4

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	图4 衰荡时间滤波前后对比Fig.4 Comparison before and after the ring-down time filtering

在上述本底衰荡时间通过卡尔曼过滤的基础下, 衰荡时间滤波同样需要确定合适的Q值。 而对于效果评定, 可以将调Q滤波处理后的衰荡时间值与无噪声的相减, 获取残差序列, 通过其标准偏差大小来比较。 残差的标准偏差(RMSE)公式为

RMSE=1n-1∑i=1n(yi-yig)(13)

式(13)中, y_i是滤波后的衰荡时间, yig是原始无噪声的衰荡时间。 添加噪声水平分别为0.01、 0.05和0.08, 然后与本底衰荡时间一致, 即调整Q值后卡尔曼滤波处理。 从图5可以看出, 在Q值近似取0.001时, 三者的RMSE值都处于极小值附近, 说明此时过滤后与无噪声时衰荡时间最接近, 即滤波效果最佳。 当Q值大于10时, 三者的RMSE值基本保持不变。 不同噪声水平下, 三者的RMSE随Q值的变化趋势基本一致, 表明Q取0.001基本可以适用于不同噪声水平下衰荡信号的处理。

图5

Fig.5

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	图5 不同Q值过滤衰荡时间Fig.5 Filtering ring-down time with different Q values

基于CRDS系统搭建了测量NO₂浓度实验系统, 如图6所示。 实验平台包括二极管激光器、 高反镜、 光电倍增管和数据采集卡等硬件设施。 采用LabVIEW设计了全自动软件, 可实时采集衰荡信号及显示拟合出的衰荡时间和浓度等波形数据。 其中二极管激光器稳定输出的是405 nm的蓝紫光, 根据HITRAN数据库, NO₂在此波长有较强的吸收作用。 调制器为函数发生器, 使二极管激光器稳定输出频率为2 kHz, 占空比为50%的脉冲波。 激光通过光隔离器, 经两个45° 平面镜反射后进入腔体。 腔体两端有高反镜, 反射率达99.99%以上, 光在腔内可有效进行多次来回反射。 在后腔体一端装有光电倍增管(PMT), 用于将光信号转化为电信号, 最后通过数据采集卡采集。

图6

Fig.6

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	图6 CRDS系统测量NO2浓度装置图Fig.6 Diagram of CRDS system for measuring NO2 concentration

实验时间为2023年6月20日16时, 地点位于安徽省马鞍山市安徽工业大学数理楼二楼(距地面约5 m), 实验装置如图7所示。 系统采用抽气采样方式, 样气流速控制在1.5 L· min^-1。 同时采用质量流量计控制N₂吹扫高反镜, 流速为100 mL· min^-1, 目的是防止高反镜被污染。 实际测量时, 随着电磁阀的通路切换, 腔内压强会产生一定的突变, 造成信号抖动。 另外, 实验平台的机械振动也会对信号传输和采集造成影响。 所以, 对测量结果中的实际噪声影响往往难以估计, 而卡尔曼滤波可以一定程度上实现降噪并提高系统性能。

图7

Fig.7

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	图7 实验装置Fig.7 Experimental device

利用实验系统获取了1 000个本底衰荡时间, 采用模拟信号分析结果, 由上述模拟结果Q值可取10^-10进行卡尔曼滤波处理, 如图8(a)所示, 可以看出明显的滤波效果。 其中, 本底衰荡时间的时间分辨率为1 s, 为对40次衰荡信号平均所得。 针对实验室真实采集衰荡信号, 我们进行了滤波前后均值, 标准偏差和最低检测限分析。 由表2可以看出, 本底衰荡时间滤波前后的均值基本不变, 保证了测量的准确性。 卡尔曼滤波后标准偏差明显减小, 相应的检测限提高9.12倍。 对比滤波前, 必须进行多次衰荡信号的平均, 降低时间分辨率而提高检测限。 卡尔曼滤波弥补了这一不足, 因此提高了系统性能。

图8

Fig.8

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	图8 卡尔曼滤波前后对比 (a): 本底衰荡时间滤波; (b): 衰荡时间滤波; (c): 滤波前后NO2浓度Fig.8 Kalman filtering before and after (a): Background ring-down time filtering; (b): Ring-down time filtering; (c): NO2 concentration before and after filtering

表2

Table 2

表2(Table 2)

表2 卡尔曼滤波评价 Table 2 Kalman filtering before and after evaluations 评价指标 均值/μ s 标准偏差/μ s 最低检测限/(10-12) 滤波前 25.97 0.09 447 滤波后 25.95 0.01 49 性能提升倍率 1.00 9.00 9.12

表2 卡尔曼滤波评价 Table 2 Kalman filtering before and after evaluations

时间分辨率不变, 获取了2 000个衰荡时间, 应用Q值为0.001进行滤波, 结果如图8(b)所示。 衰荡时间的滤波前后的时间响应无明显改变, 噪声抖动减小, 可以达到明显的降噪作用。 结合上述1 000个本底衰荡时间均值, 代入式(2)得到的图8(c)是滤波前后的NO₂浓度结果对比。 与图8(c)的变化趋势相反, 浓度结果可反映衰荡时间的实时变化信息。 最终, 实验结果验证了模拟过程中卡尔曼滤波的有效性。