为了设计亚波长光栅结构的窄带陷波滤光片, 设计了图2所示神经网络。 正向模拟的网络结构如图2(a), 包括输入层, 多个隐藏层以及输出层。

图2

Fig.2

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	图2 神经网络结构 (a): 正向模拟网络; (b): 逆向设计网络Fig.2 Neural network structure (a): Forward simulation network; (b): Reverse-design network

输入层5个节点分别为, 光栅高度H₁(0.01~0.09 μ m), 波导层厚度H₂(0.09~0.19 μ m), 光栅周期Λ (0.2~0.4 μ m), 光栅折射率N(1.5~2.4), 占空比F(0.4~0.75)。 对不同个数的隐藏层以及隐藏层中包含的不同个数的神经节点进行测试以及比对。 层数为5层时, 网络无法收敛, 均方误差较大; 层数为3层时, 虽然消耗时间较少, 但均方误差为4层时的十倍。 最终设置网络的隐藏层个数为4, 4个隐藏层的神经元个数分别为(50, 200, 500, 200), 详细评价指标列于表1, 表2。 输出层26个节点, 对应可见光范围0.45~0.7 μ m内的26个点, 步长为0.01 μ m, 作为光谱响应特征曲线。 Batch_szie为网络每一次训练所选取的样本数, 影响着模型的优化程度和速度。 Batch_szie设置过小训练精度高, 但消耗时间越长需要的迭代次数越高, 可能造成内存爆炸。 Batch_szie过大消耗时间少, 但是过大可能会导致迭代无法收敛。 因此需要选取合适的Batch_szie使得网络达到最优。 合适的Batch_szie选取可以使得梯度下降更加准确, 达到良好的训练效果, 通过对不同大小的测试, 最终选取Batch_size大小为128, 详细评价列于表3。

表1

Table 1

表1(Table 1)

表1 不同隐藏层层数的评价指标 Table 1 Evaluation indexes of network with different hidden layers 网络层数 消耗时间/s 均方误差 Model_A 5 无法收敛 0.513 905 Model_B 4 465 0.014 Model_C 3 382 0.10

表1 不同隐藏层层数的评价指标 Table 1 Evaluation indexes of network with different hidden layers

表2

Table 2

表2(Table 2)

表2 不同网络结构的评价指标 Table 2 Evaluation indexes of network with different network structures 网络结构 消耗时间/s 均方误差 Model_1 50, 200, 200, 50 91.64 0.068 427 Model_2 50, 200, 200, 200 121.89 0.082 540 Model_3 50, 200, 500, 200 190.29 0.031 505 Model_4 50, 200, 500, 500 373.53 0.033 413

表2 不同网络结构的评价指标 Table 2 Evaluation indexes of network with different network structures

表3

Table 3

表3(Table 3)

表3 不同Batch_size的评价指标 Table 3 Evaluation indexes of network with different Batch sizes 样本数 消耗时间/s 均方误差 Batch_size_1 32 3 483 0.025 68 Batch_size_2 64 574 0.034 15 Batch_size_3 128 381 0.028 23 Batch_size_4 256 282 0.031 52 Batch_size_5 512 268 0.040 17

表3 不同Batch_size的评价指标 Table 3 Evaluation indexes of network with different Batch sizes

正向模拟的作用是根据输入的光栅几何结构参数来迅速, 精确的得到光谱响应曲线。 而逆向设计的作用是根据期望光谱响应快速设计出光栅的几何结构。 逆向设计的网络结构如图2(b), 网络结构与正向模拟的网络结构相反, 输入层为期望光谱曲线量化的26个点, 输出为光栅的5个结构参数。

为了使网络能够良好的运行并达到预期的效果, 基于RCWA模拟仿真生成数据集, 数据集的建立包括光栅的几何结构参数, 其对应的光谱响应曲线, 以及数据标签。 光栅的几何结构如图1, 以Si₂O为光栅基底, 入射光为TE偏振光, 垂直入射光栅表面。 通过改变光栅层以及波导层的折射率、 高度、 周期、 占空比, 得到不同的数据。 取可见光波段0.45~0.7 μ m的波长范围, 每0.01 μ m取一个点, 总共取26个点来量化光栅的反射光谱响应T(t₁, t₂, t₃, ..., t₂₆)。 将训练好的数据集80%作为训练集, 20%作为测试集, 设置网络的损失函数为

Loss=MSE(T^, T)=12∑i=1N(t^i-ti)2(1)

式(1)中, t^i为神经网络预测的光谱曲线, t_i为RCWA数值模拟光谱曲线, N为输出的节点数, 此处为26。 损失函数是预测光谱 t^i与RCWA数值模拟光谱t_i的均方误差。 对于逆向设计来说, 损失函数是预测结构参数与真实结构参数之间的均方误差。 神经网络每一层的输出:

t^i=σ(Zl)(2)

Zl=Wlal-1+bl(3)

al-1=σ(Zl-1)(4)

Sigmoidσ=1/(1+e-Z)(5)

ReLUσ=max(0, Z)(6)

其中σ 为激活函数, 激活函数的作用是加入非线性因素, 提高神经网络对模型的表达能力, 解决线性模型不能解决的问题。 隐藏层的激活函数设置为ReLU函数, 具有收敛速度快的优点。 输出层设置为Sigmoid激活函数, 适用于线性回归层。 Z为网络的神经节点; 输入层的神经节点为5, 隐藏层的输出节点分别为(50, 200, 500, 200)。 W为网络的权值, b为网络的偏置, l为网络层数, 包含输入层, 输出层以及四个隐藏层, 输入层为第0层。

训练过程中使用Adam梯度下降算法, 进行参数优化

νdW[l]=β1νdW[l]+(1-β1)∂J∂W[l](7)

νdWcorrected[l]=νdW[l]1-(β1)t(8)

SdW[l]=β2SdW[l]+(1-β2)∂J∂W[l]2(9)

SdW[l]corredted=SdW[l]1-(β1)t(10)

$W^{[l]}=W^{[l]}-\alpha \frac{\nu_{d W[l]}^{\text {corrected }}}{\sqrt{S_{d W[m]}^{\text {corredted }}}+\varepsilon}$ (11)

同理

$b^{[l]}=b^{[l]}-\alpha \frac{\nu_{d b[l]}^{\text {corrected }}}{\sqrt{S_{d b}^{\text {corredted }[l]}}+\varepsilon}$ (12)

其中t为当前迭代次数, β ₁和β ₂为控制两个指数加权平均值的超参数, 一般设置为0.9, 0.999。 α 为学习率, 其初始值设置为0.002。 ε 用于避免分母为零, 一般为1× 10^-8。 通过计算之前梯度的指数加权平均值, 和之前梯度平方的指数加权平均值。 分别将其存储在变量ν (偏差校正前), ν ^corrected(偏差校正后)和s(偏差校正前), s^corrected(偏差校正后)之中。 通过Adam梯度下降算法不断的更新W, b, 得到最佳值。

为了使网络运行达到预期的目标, 建立了23 100组数据。 在训练过程中发现, 正向模拟训练效果良好, 收敛速度快, 如图3(a)所示。 在逆向设计的时候, 由于数据集中数据量庞大, 有相似的光谱响应对应不同的光栅结构参数, 造成单输入对应多输出的问题, 使得网络无法找到最优解, 迭代无法收敛, 如图3(b)所示。 例如两个不同的光栅结构M_a和M_b, 有相似的光谱响应曲线, 当神经网络在训练的过程中有两个数据(M_a, T)与(M_b, T)时训练将难以收敛, 因为这两个数据为网络提供了两个不同的答案, 使得网络无法达到训练的目的。 神经网络的调控是通过最小化Loss函数来完成训练目的的, 在逆向设计中Loss函数为

InverseLoss=MSE(M, M^)=12∑i=1N(Mi-M^i)2(13)

图3

Fig.3

	Figure Option ViewDownloadNew Window
	图3 (a)正向模拟损失函数曲线; (b) 逆向设计损失函数曲线Fig.3 (a) Forward simulation Loss function curve; (b) Inverse design Loss function curve

式(13)中, M为真实数据, M^为在给定输入光谱T的情况下神经网络设计的结构参数。 N为输出节点, 此处为5。 由于数据的非唯一性, 造成迭代无法收敛。

为了克服数据的非唯一性导致的迭代无法收敛的问题, 使用一种串联的神经网络(TNN)^[9]如图4, 将先前建立的正向模拟神经网络(红框部分)与逆向设计网络连接在一起, 中间层为光栅的结构参数D(蓝色部分), 整个串联网络的输入为目标光谱R, 串联网络的输出是根据逆向设计得到的光栅结构参数D', 输入已经训练完成的正向模拟网络所得到的预测光谱响应R'。 在串联网络运行之前, 先将训练好的正向网络的权重W_f与偏置b_f设定。 然后通过Loss函数调整逆向设计网络的权重W_i与偏置b_i。 与先前两种网络不同的是, 串联网络的损失函数计算的是输入光谱R与输出光谱R'之间的均方误差

Loss=MSE(R, R')=12(R-R')2(14)

图4

Fig.4

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图4 串联的神经网络 R: 期望光谱; R: 正向模拟预测光谱; D: 原始训练集的样本结构; D: 逆向设计预测结构; 红色框线为正向模拟网络, 通过修改损失函数来解决数据的不唯一性导致的网络无法拟合问题, 中间层为逆向神经网络的输出, 正向模拟的输入Fig.4 Series neural network R: Expected spectral response; R': Forward simulation prediction spectrum; D: Sample structure of the original training set; D': Reverse design forecast structure. The red frame is the forward simulation network. The Loss function is modified to solve the problem that the network cannot be fitted due to the non-uniqueness of the data. The middle layer is the output of reverse design and the input of forward simulation

该Loss函数定义为预测光谱响应和目标光谱响应之间的均方误差。 这种网络结构克服了逆向设计网络的非唯一性问题, 因为网络的设计结果不需要与训练样本中的实际设计相同。 相反, 只要生成的几何结构参数和实际设计的几何结构参数具有相似的响应, Loss函数就会很低。

为了测试串联网络的逆向设计能力, 使用RCWA数值模拟任意三个光栅的光谱响应曲线, 并将光谱曲线输入串联网络, 得到光栅结构参数, 将串联网络给出的结构参数与RCWA数值模拟的结构参数列于表4, 并作出串联神经网络的Loss函数图, 如图5所示。

表4

Table 4

表4(Table 4)

表4 结构参数对比 Table 4 Comparison of structural parameters Method H1 /nm H2/ nm F Λ /nm N 1 RCWA 90 150 0.5 360 2.2 Network 88.441 5 150.476 0.485 823 362.866 6 2.193 37 2 RCWA 70 110 0.7 360 2.1 Network 67.619 93 120.378 0 0.676 11 360.900 5 2.069 56 3 RCWA 90 90 0.65 360 2.3 Network 86.095 81 104.919 36 0.620 73 350.569 2.302 507

表4 结构参数对比 Table 4 Comparison of structural parameters

图5

Fig.5

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	图5 串联网络Loss函数曲线Fig.5 Series network loss function curve

为了验证神经网络正向模拟的准确性以及可行性, 查阅参考文献[12], 将文献中的设计参数以及光谱响应曲线与正

向模拟网络进行对比。 文献中以SiO₂为基底层, 光栅以及波导层选用Si₃N₄。 在0.45~0.7 μ m分别对红、 绿、 蓝三色陷波滤光片进行验证, 三种陷波滤波片的结构参数列于表5。 将表5中光栅的结构参数输入正向模拟网络, 所得到的光谱响应曲线与文献中的曲线比较如图6所示。

表5

Table 5

表5(Table 5)

表5 红绿蓝结构参数[12] Table 5 Red, green and blue structural parameters H1 /nm H2 /nm F Λ /nm N Red (607 nm) 60.5 104.5 0.46 363.6 2.04(Si3N4) Green(551 nm) 59.2 105.8 0.46 323.5 2.04(Si3N4) Blue(479.5 nm) 58.5 106.5 0.46 273.15 2.04(Si3N4)

表5 红绿蓝结构参数[12] Table 5 Red, green and blue structural parameters

图6

Fig.6

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	图6 红、 绿、 蓝为参考文献的光谱响应曲线, 黑色曲线为相同的结构参数TNN所生成的光谱响应曲线Fig.6 Red, green and blue are the spectral response curves reported by references, and black curves are

the spectral response curves of TNN with the same structural parameter

分别将文献中的数据与正向模拟所设计的光谱响应进行相关性计算, 计算两者之间的欧氏距离

d=∑k=1n(x1k-x2k)21/2(15)

相关系数r=1/(1+d), 计算红、 绿、 蓝三色的相关系数分别为0.763 82, 0.835 87, 0.890 88, 将3个相关系数与表6中的评价指标进行比对, 验证其相关性为强相关。

表6

Table 6

表6(Table 6)

表6 相关系数评价指标[13] Table 6 Evaluation Index of correlation coefficient 相关性 无相关 弱相关 中度相关 强相关 r r< 0.1 0.1< r< 0.3 0.3< r< 0.5 0.5< r< 1

表6 相关系数评价指标[13] Table 6 Evaluation Index of correlation coefficient

验证串联网络的逆向设计的可行性, 将未经训练的光谱曲线数据输入串联神经网络, 输入的目标响应光谱曲线为0.45~0.7 μ m范围内的高斯曲线

f=0.98exp-(x-x0)22σ2+0.02(16)

分别设置x₀为0.48, 0.55, 0.61, σ 设置为0.005。 将三条中心波长分别在0.48, 0.55与0.61 μ m, 且峰值反射率达到100%的红, 绿, 蓝光谱响应曲线输入串联网络, 并将逆向设计输出的几何结构参数(表7)使用RCWA数值模拟, 得出设计结构参数对应的真实光谱响应。 将目标响应光谱与真实光谱的结果相比较, 如图7。

表7

Table 7

表7(Table 7)

表7 逆向设计结构参数 Table 7 Reverse design parameters H1 /nm H2 /nm F Λ / nm N r Red (607 nm) 79.011 7 120.795 0.584 381.602 1.926 0.685 1 Green(551 nm) 53.246 52 107.609 0.411 326.287 2.052 0.813 4 Blue(479.5 nm) 45.680 69 93.037 0.602 283.814 2.014 0.789 6

表7 逆向设计结构参数 Table 7 Reverse design parameters

图7

Fig.7

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图7 串联网络逆向设计 黑色曲线为目标光谱, 反射率为100%, 红绿蓝三条曲线为逆向设计参数的RCWA数值模拟曲线, 峰值波长分别为479.5, 551和607 nm, 反射率分别为98.91%, 99.98%和99.88%Fig.7 RCWA numerical simulation curves with inverse design of series network Black curve is target spectrum with a reflectivity of 100%; red-green-blue curves are RCWA simulation curves of reverse design with the reflectivity of 98.91%, 99.98% and 99.88% at the peak wavelengthes of 479.5, 551.0 and 607.0 nm, respectively

在训练完成的神经网络中进行各个目标光谱的设计, 仅需1.35 s。 极大的提高了陷波滤光片的设计效率, 且峰值反射率都能达到99%以上。