引用本文
赵首博, 李秀红. 基于压缩感知的反射光谱重构算法研究[J]. 光谱学与光谱分析, 2021,41(4): 1092-1096.
ZHAO Shou-bo, LI Xiu-hong. Research on Reflection Spectrum Reconstruction Algorithm Based on Compressed Sensing[J]. Spectroscopy and Spectral Analysis, 2021,41(4): 1092-1096.
Doi:10.3964/j.issn.1000-0593(2021)04-1092-05  
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基于压缩感知的反射光谱重构算法研究
赵首博1,2, 李秀红1,2
1.哈尔滨理工大学测控技术与通信工程学院, 黑龙江 哈尔滨 150080
2.哈尔滨理工大学测控技术与仪器黑龙江省高校重点实验室, 黑龙江 哈尔滨 150080

作者简介: 赵首博, 1985年生, 哈尔滨理工大学测控技术与通信工程学院副教授 e-mail: shoubozh@126.com

收稿日期: 2020-03-31 修订日期: 2020-08-16
基金: 国家自然科学基金项目(61801148); 黑龙江省自然科学基金项目(QC2016067); 黑龙江省科学院科学研究基金项目(ky2019w102)资助
摘要

光谱反射率描述物体的表面颜色特征, 为了能够获取物体自身更加精确的颜色信息, 在图像处理领域光谱反射率重构成为了关注的话题。 反射光谱重构算法是对实验物体表面在可见光范围内每一波长处的光谱反射率进行重构, 以达到提高物体自身颜色准确复制的精度, 最后建立相应的反射光谱。 尝试将压缩感知(CS)理论应用到光谱实验中, 对光谱反射率进行重构。 首先是介绍了压缩感知理论知识, 然后把压缩感知理论与光谱反射率原理相结合, 根据基于压缩感知的光谱反射率重构的理论框架, 选取合适的采样值, 压缩感知的采样值即压缩值, 小波基作为正交矩阵, 高斯随机矩阵作为测量矩阵, 正交矩阵与测量矩阵需要保证具有不相关性, 将原始光谱反射率从高维到低维进行线性投影, 得到低维的观测信号, 运行简单的正交匹配追踪算法(OMP)对低维的观测信号进行由低维到高维的高精度重构, 重构得到的光谱反射率与原始光谱反射率具有相同的维度, 最后将压缩感知重构算法与传统的光谱反射率重构算法伪逆法与多项式回归法进行比较。 经过压缩感知重构算法得到的色差值与均方根误差值都小于伪逆法和多项式回归法重构的结果, 经压缩感知的重构精度明显提高; 经压缩感知重构的光谱曲线可以达到或者更接近原始光谱曲线的峰值, 整体效果更接近原始光谱曲线; 经多项式回归法和伪逆法重构的光谱曲线达不到原始峰值, 整体上存在偏差。 可以认为压缩感知用低采样的数据达到了全采样的效果, 提高了光谱反射率重构的精度。 基于压缩感知的光谱反射率重构算法效果明显优于传统的多项式回归法和伪逆法, 可以将压缩感知理论应用到实际的多光谱成像系统中。

关键词: 压缩感知; 光谱反射率; 光谱重构; 多光谱成像
中图分类号:O433.4 文献标志码:A
Research on Reflection Spectrum Reconstruction Algorithm Based on Compressed Sensing
ZHAO Shou-bo1,2, LI Xiu-hong1,2
1. School of Measurement and Control Technology and Communication Engineering, Harbin University of Science and Technology, Harbin 150080, China
2. Measurement and Control Technology and Instrument Key Laboratory of Heilongjiang Province, Harbin University of Science and Technology, Harbin 150080, China
Abstract

The spectral reflectance describes the surface color characteristics of the object. In order to obtain more accurate color information of the object, the spectral reflectance reconstruction in the image processing field has become a hot topic. We take the spectral reflectance as the main research target. Sequentially, we propose the algorithm which reconstructs the spectral reflectance of the measured object in the visible region to enhance the accuracy of color reproduction. This article attempts to employ compressed sensing (CS) theory in the spectral experiments to reconstruct the spectral reflectance. This article first introduces the theory of compressive sensing and then combines the theory of compressive sensing with the principle of spectral reflectance. According to the theoretical framework of spectral reflectance reconstruction based on compressed sensing. The appropriate sampling value is selected.The compressed sensing sample value is the compressed value, the wavelet base is used as the orthogonal matrix, and the Gaussian random matrix is used as the measurement matrix, the orthogonal matrix and the measurement matrix ensure irrelevance, the original spectral reflectance is linearly projected from the high dimension to the low dimension, then a low-dimensional observation signal is obtained, the simple orthogonal matching pursuit algorithm (OMP) reconstructs the low-dimensional to high-dimensional high-precision observation signals from low-dimensional observation signals, and the obtained spectral reflectance has the same dimensions as the original spectral reflectance. Finally, the compressed inverse method and the traditional spectral reflectance reconstruction algorithm are compared with thepseudo-inverse method and the polynomial regression method. The experimental results showthat the color difference and the root mean square error obtained by the compressed sensing reconstruction algorithm are smaller than the measured value of the pseudo-inverse method and the polynomial regression method, In other words, the reconstruction accuracy is significantly improved, the spectral curve reconstructed by compressed sensing can reach or be closer to the peak of the original spectral curve, which is closer to the original spectral curve on the whole visible range. The spectral curve reconstructed by the polynomial regression method and the pseudo-inverse method does not reach the original peak, and there is an overall deviation. Inconclusion, the experimental resultsshow that compressed sensing uses low-sampling data to achieve the effect of full sampling. Compressed sensing improves the accuracy of spectral reflectance reconstruction while reducing the amount of computation. The compression reconstruction effect proposed in this paper is significantly better than the traditional polynomial regression method and the pseudo-inverse method. Compressed sensing theory can be applied to practical multispectral imaging systems.

Keyword: Compressed sensing; Spectral reflectance; Spectral reconstruction; Multispectral imaging
引言

光谱反射率、 光照环境和采集设备共同决定物体的表面颜色, 当使用不同的采集设备或者光照环境改变时都无法精确的获取到物体自身的颜色信息。 物体的光谱反射率是物体自身的光学特性, 与光照环境和采集设备具有不相关性。 传统的多光谱成像技术研究主要是通过图像光谱采集仪器在可见光范围内采集到的多个光谱信息, 使用重构算法低失真的计算出光谱反射率, 最后达到光谱显现的目的[1]。 传统多光谱反射率重构算法有伪逆法, 主特征向量法, 维纳估计法, 多项式回归法等[2]。 伪逆法在进行光谱反射率重构时对通道数的要求过高; 主特征向量法只考虑对重构光谱反射率有重要影响的通道响应来重构光谱反射; 维纳估计法是重构光谱反射率最常用的方法, 其可以使重构的光谱反射率与原始光谱反射率之间的差值达到最小, 但却无法解决非线性成像系统中的光谱反射率重构的问题; 多项式回归法需要扩充到合适的通道响应值的系数才可以达到提高成像系统的线性度的目的, 运算量复杂[3, 4]。

压缩感知(compressed sensing, CS)自2006年被提出之后, 迅速占领着工业界和学术界, 压缩感知在图书存储, 医学成像, 遥感成像[5], 光谱成像等领域都占有一定的比例[6, 7]。 压缩感知的出现克服了奈奎斯特采样频率受信号带宽的影响[8], 打破了传统奈奎斯特采样定理先采样后压缩的保守性和浪费资源的瓶颈[9]。 本工作尝试将压缩感知理论知识引入到光谱反射率重构实验, 对光谱反射率进行重构, 利用压缩感知边采样边压缩的原理, 有效的解决了原始光谱反射率中冗余数据量大的难题, 加快了对原始光谱反射率的采集速度[10]。 用有限的数据可以高效快速的重建出高质量的数据, 达到了全采样的效果[11], 与传统的光谱反射率重构算法相比, 压缩感知不受通道数的影响, 可以同时解决线性问题和非线性问题。

1 实验部分
1.1 压缩感知基础

压缩感知技术主要部分为稀疏表示, 测量矩阵, 重构算法。 稀疏性是决定信号能否进行压缩感知的前提, 压缩感知理论指出, 当信号自身具有稀疏性或者信号在某一个变换域上可以进行稀疏表示, 信号就可以变换到低维测量矩阵上的线性投影, 最后通过这些低维的观测信号, 利用重构算法进行低维到高维的高精度转换[12]。

设给定在某一变换域上具有稀疏性的一个长度为N的信号X, X∈ RN× 1, 记元素X(n), n=1, 2, …, N, X任一列向量都可以用一组标准正交基φ =[φ 1, φ 2, …, φ N]线性表示为

X=∑i=1Nφiαi=φα(1)

式(1)中, φ 为N× N的矩阵, α 为稀疏系数是N× 1的矩阵, 是信号X在稀疏域φ 上的线性表示, α 中有K(K≪N)个非零元素, 具有K阶稀疏性。 稀疏域的选取决定着信号的稀疏度的高低, 当稀疏度很高时, 信号的压缩比与重构准确率都能够提高[13]。

在压缩感知理论中需要采用一个与φ 不相关的测量矩阵Ψ ∈ RM× N(M≪N)将信号X从高维空间线性投影到低维空间, 于是得到M× 1测量信号Y

Y=ΨX(2)

式(2)中, Ψ 为随机矩阵。 将式(1)代到式(2)中可得

Y=Ψφα=Aα(3)

式(3)中, A为M× N的感知矩阵, 这是一个高维到低维的欠定问题, 从数学意义上未知数的个数远远大于样本个数(M≪N), 存在无数个解, 无法得到确定解, 若M, N, K之间的关系满足M≥ Klog(N/K)同时感知矩阵A满足K阶约束等距条件(RIP)时, 信号X就可以被重建, 即

(1-δk)‖X‖22≤AX‖22≤1+δkX‖22(4)

式(4)中, δ k∈ (0, 1), 此时欠定问题就可以转化成求解最小范数l0问题:

$\tilde{\alpha}=\arg \min \|\alpha\|_{0} \quad \text { s. } \mathrm{t} \quad y=\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}$ (5)

式(5)中, ‖ α ‖ 0表示向量α 的l0范数, 但最小l0范数也是一个非确定性多项式的问题(NP)问题, 计算复杂甚至不能直接求解, 最小l1范数与l0在一定条件下具有等价性, 此问题转化成求解l1范数的问题, 本实验主要采用正交匹配追踪算法进行求解[14]

$\tilde{\alpha}=\arg \min \|\alpha\|_{1} \quad \text { s. } \mathrm{t} \quad \mathrm{y}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}$ (6)

最后将问题转化成求解凸优化问题, 将稀疏系数最优解进行带入到原始稀疏基φ 中进行逆变换得到 X˙=φ α˙, 得到的 X˙即为本算法求得的最优解。

1.2 光谱反射率重建方法

为了选择出适合光谱反射率重构的实验数据, 本实验选择用分光辐射照度计CL-500A直接对24色标准色卡采集在360~780 nm可见光范围之间的光谱图像和光谱反射率。 利用基于正交匹配算法的压缩感知对光谱反射率进行稀疏重构。

原始光谱反射率的长度为N=301, 采样值为M=31, 原始光谱反射率数据为R(λ )=301× 1维的列向量, R(λ )={R1, R2, …, R301}T, 首先对原始数据R(λ )进行小波变换, 将该信号用一组小波正交矩阵φ ={φ 1, φ 2, φ 3, …, φ 301}进行线性表示, 可以得到稀疏系数α , 即

R(λ)=φα(7)

式(7)中, α 为信号R(λ )在φ 域上的线性投影, 稀疏系数α 中非零元素的个数为K=4(K≪N); 然后将信号R(λ )通过与小波正交矩阵不相关的测量矩阵Ψ 31× 301={Ψ 1, Ψ 2, …, Ψ 31}进行高维到低维的线性投影, 即

Y=ΨR(λ)=Ψφα=Aα(8)

选用的测量矩阵Ψ 为高斯随机矩阵, 服从正态分布, 均值为0, 方差为1, 满足与小波正交矩阵具有不相关性, A为感知矩阵, Y=31× 1维的列向量, M≪N为一个欠定方程, 选用l1范数求解最优化α '的解。

R(λ)'=φα'(9)

最终得到原始光谱反射率经过压缩感知重构后的光谱反射率R(λ )'={R'1, R'2, …, R'301}T。

2 结果与讨论

基于matlab2018a对多项式回归法(Polynomial), 伪逆法(Weini), 压缩感知法三种方法进行仿真比较, 为了更加方便实验模型的验证, 选取波长范围为400~700 nm的301个光谱反射率样本数据进行算法重构, 图1为选取的24色标准色卡中第8位和第14位光谱图进行算法重构。

图1 R8光谱重构图(a)和R14光谱重构图(b)Fig.1 R8 spectral reconstruction diagram (a) and R14 spectral reconstruction diagram (b)

图1(a)为R8的光谱重构图, 其中蓝实线为采集到的原始光谱曲线, 蓝色虚线为伪逆法重构的光谱曲线, 虚点划线为多项式回归法重构的光谱曲线, 红色实线为压缩感知重构的光谱曲线。 当波长范围在400~650 nm时, 经多项式回归法重构的光谱曲线在450~500 nm区间处达不到原始峰值, 在500~650 nm区间处曲线整体低于原始光谱曲线; 经伪逆法重建的光谱曲线整体高于原始曲线, 在峰值处偏离程度更加明显; 经过压缩感知重构的光谱曲线更接近原始曲线, 在450~500 nm区间处达到了原始峰值。 波长范围在650~700 nm时, 经压缩感知重构的曲线稍偏离原始曲线; 经多项式回归法重构的光谱曲线依然低于原始曲线; 经伪逆法重构的光谱曲线接近原始曲线。 从整体比较上看, 经过压缩感知重构的R8光谱曲线更加接近原始曲线。

图1(b)为R14的光谱重构图, 其中蓝实线为采集到的原始光谱曲线, 蓝色虚线为伪逆法重构的光谱曲线, 虚点划线为多项式回归法重构的光谱曲线, 红色实线为压缩感知重构的光谱曲线。 当波长范围在450~500和600~700 nm时, 三种方法重构的光谱曲线与原始曲线几乎重合。 波长范围在500~600 nm之间时, 经伪逆法重建的光谱曲线整体高于原始曲线, 偏离程度明显; 经多项式回归法重构的光谱曲线在500~550 nm区间处达不到原始峰值; 经过压缩感知重构的光谱曲线在500~550 nm区间处更接近原始峰值, 从整体比较上看, 经过压缩感知重构的R14光谱曲线更加接近原始曲线。

分别从色差法和均方根误差法对三种重构算法进行比较。

(1)色差法

色差法以数值的方式呈现出两种颜色给人视觉上的差异, 是评价光谱反射率重构效果最常用的方法。

ΔE=(Lλ-Lλ')2+(aλ-aλ')2+(bλ-bλ')2=(ΔL)2+(Δa)2+(Δb)2(10)

从表1可以看出, 利用多项式回归法和伪逆法重构出来光谱反射率的色差值比较接近, 都大于压缩感知重构出来的色差值, 压缩感知重构精度更好。

表1 色差结果对比 Table 1 Comparison of color difference results

(2)均方根误差(RMSE)

均方根误差可以有效的反映重构值的精密度, 均方根误差的数值越小表明图像失真程度越低。 已知测量数有N个, 即N个原始光谱反射率为R=(λ 1, λ 2, …, λ N), N个重构光谱反射率为R'=(λ '1, λ '2, …, λ 'N), 用RRMSE作为衡量原始光谱反射率数据与重构光谱反射率数据之间的偏差, 其表达式为

RRMSE=∑i=1N(R(λi)-R(λi)')2N(11)

从表2可以看出, 利用多项式回归法和伪逆法重构出来光谱反射率的均方根误差值比较接近, 都大于压缩感知重构出来的光谱反射率的均方根误差值, 即压缩感知重构精度更好。

表2 均方根误差(RMSE)结果对比 Table 2 Comparison of root mean square error (RMSE) results
3 结论

尝试将压缩感知理论应用到实际的多光谱成像技术中, 利用压缩感知边采样边压缩的特点, 减少了实验所需光谱反射率的运算量, 降低实验成本加快了运行速度。 压缩感知的优点是可以用低维的观测信号高精度的重构出高维的原始信号, 为与传统的多项式回归法和伪逆法在相同的实验数下比较, 选择31个采样值作为感知信号重构出原始的301个采样值, 压缩比达到90%。 从直观评价角度比较光谱曲线发现, 经压缩感知重构的光谱曲线可以达到或者更接近原始光谱曲线的峰值, 整体更加接近原始光谱曲线; 从客观评价角度比较发现, 经过压缩感知重构算法的光谱反射率的均值方根误差值和色差值相对较小, 表明经过压缩感知重构后的光谱反射率失真度更小, 能在很大程度上提高重构光谱反射率的精度。

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