半色调印刷品使用光学特性为半透明的油墨, 印刷复制品的阶调变化由网点面积率来表示, 且网点的空间分布呈离散状态^[3], 其光学特性有别于透明或不透明色料的连续调原稿。 以光谱反射率为基础的空间变换可以借助库贝尔卡-芒克(Kubelka-Munk)理论, 将光谱反射率转换到线性的吸收散射系数空间, 也可借助光谱纽介堡(Neugebauer)方程来描述光谱反射率与网点百分比之间的关系^{[3, 5]}。 但是Kubelka-Munk理论的成立基于一定假设条件, 假设样品表面涂层折射率相等, 忽略边界效应。 但实际上光线向下和向上照射方向的折射率不相同, 光线照射到印刷品表面时油墨层与纸张之间也存在多重反射, 不可忽略边界效应, 尤其对半透明的印刷油墨转换后并不是一个线性空间, 不适合于原色油墨的光谱预测。 光谱Neugebauer方程虽然是描述光谱反射率与网点面积率之间的关系, 但这是基于纽介堡色元光谱反射率的线性加权, 纽介堡色元数目与原色油墨数目的数学关系式为: N=2^k, 该线性空间中的物理维度基于纽介堡色元, 这将会远远超出实际使用的原色油墨数目, 所以Neugebauer方程转换的光谱空间也并不适用于原色油墨的数目预测及光谱预测^[3]。

由于上述理论建立的空间并不适用原色油墨的光谱预测, 新建立的空间模型基于半色调原稿减色呈色的光学特性, 且必须满足光谱预测的基本要求:

(1)该空间模型是线性的, 以光谱反射率为基础建立;

(2)该空间可以表示为有限个基向量的线性组合, 其代表性基向量数目等于原色油墨数目;

(3)该空间具有一定的物理意义:

①表示半色调原稿的整体光谱特性, 是各原色油墨光谱特性与各油墨浓度百分比的线性组合;

②半色调原稿每种颜色的光谱特性是混合该颜色的各原色油墨光谱特性的线性叠加效果;

③每种颜色混合所需的各原色油墨浓度百分比之和为1。

根据以上空间模型建立要求及半色调原稿光学特性, 所建立的减色线性经验空间模型如式(1)

Θ=∑i=1kaici=AC0≤ai; 0≤ci< 1; ∑i=1pci, j=1, j=1, 2, 3, …, m(1)

其中Θ 为p× q矩阵表示半色调原稿整体的光学特性, p为矩阵维数即光谱维度, q为原稿颜色采样样本数这里指测量的色块数目。 k表示半色调原稿所用原色油墨数目, 向量a_i

表示第i个原色油墨的光谱特性, 用向量组A表示A_{n× k}=(a₁, a₂, a₃, …, a_k), 矩阵A中每列表示一个原色油墨的光谱特性, 向量c_i表示第i个原色油墨对应的浓度百分比, 用向量组C表示C_{k× m}=(c₁, c₂, c₃, …, c_m), 矩阵C表示各原色油墨对应的浓度百分比。

新建立的减色线性经验空间满足光谱预测要求, 且具有实际存在的物理意义, 但已知半色调印刷品情况下, 其使用的原色油墨类型及其光谱特性和浓度很难得知, 为得到有效的光谱预测空间, 需建立一个从光谱反射率空间到减色线性经验空间的空间转换模型。

Tzeng博士等经大量实验推导出一个由光谱反射率空间到减色线性经验空间的转换模型^[5]见式(2)和式(3)

Θ=b→-Rm1/2(2)

Rm=(b̅-Θ)2(3)

上述经验空间转换模型中, Θ 表示转换后的减色线性空间, R_m表示测得的半色调原稿印刷品的光谱反射率, 偏移矢量b用于空间优化的经实验推导得出的经验向量。 但实际情况下, 需要考虑油墨覆盖到纸基以后油墨和纸张以及两者共同对光线的实际反射作用, 以及转换后空间的线性程度, 参考尤尔-尼尔森修正Neugebauer方程的方法, 将上述转换模型用n值进行了修正, n值决定空间的线性程度, 并将模型的优化矢量b用纸张光谱反射率R_p代替, 修正后的减色线性经验空间是完全针对于印刷油墨的光谱特性空间, 除去了纸张对油墨预测的影响, 当纸张上没有印刷油墨时, 减色线性经验空间恰好为纸张的转换值, 这使转换模型更具有物理意义。 修正后的空间转换模型和逆变换如式(4)和式(5)

Θ=Rp1/n-Rm1/n; n≥2(4)

Rm=(Rp1/n-Θ)n(5)

转换因数n值决定着减色线性经验空间关于原色油墨浓度及光谱特性的线性相关程度, n值的确定对线性经验空间的建立起到至关重要的一步。 不同半色调印刷品使用不同的纸张及油墨, 在建立减色线性空间时这都是影响空间线性程度不可避免的因素, 为建立线性程度最优空间要对空间转换因数n进行优化确定, 这里使用Matlab采用有约束条件的非负矩阵分解算法和优化工具箱中fmincon优化函数对n值进行优化, 确定n值的具体技术路线如图1。

在优化转换因数n时, 首先给定n的初始值初步建立经验空间, 对该空间进行有约束条件的非负矩阵分解, 其思想符合减色线性经验空间的建立原则, 约束条件即保证经验空间的建立原则, 其中cnmf(…)表示有约束条件的非负矩阵分解函数, k指所用油墨数目, 然后使模拟的经验空间逆回重构光谱反射率空间, 重构光谱反射率与原始光谱反射率的近似程度越高, 证明所建立的减色线性经验空间的线性程度越高^[7]。 因此取不同n值情况下, 原始光谱反射率与重构光谱反射率的f范数平方值的最小值为判断标准, 当两者f范数最小时输出最佳n值, 以此建立线性程度最佳保证光谱预测有效性的减色线性经验空间。

图1

Fig.1

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	图1 确定n值的技术路线Fig.1 Technical roadmap for making n values

在使用PCA法提取不同数据样本的主成分时, 可将数据集表示成有限个基向量的线性组合^{[8, 9]}, 而印刷品原稿正是由有限个原色油墨叠加复制而成, 印刷品光谱特性数据样本的代表性基向量个数若能准确表示原色油墨数目, 则该光谱特性数据空间是一个适合用于光谱预测的有效线性空间^[7]。

假设半色调原稿光谱特性数据样本为X, 是p× q的矩阵, p表示样本数, q表示光谱维数^[2], 对X进行主成分分析计算特征值的累计贡献率确定保留的基向量数目, 特征值的贡献率和累计贡献率如式(6)

ai=Di∑D Aaj=∑i=1jDi∑D(6)

通过计算特征向量对应的累计贡献率和增长速度, 作为选取代表性基向量个数的标准, 取累计贡献率大于99.9%, 且增长速度小于0.03%, 即Aa_j≥ 99.9%且Aa_j+1-Aa_j≤ 0.03%时, j作为原始数据组的主要基向量数目, 即半色调原稿所用原色油墨的数目。 此原色油墨数目的选取标准经过大量不同纸张和油墨的预测实验结果验证得到。

光谱的精度评价主要从两方面, 色度精度和光谱精度^[10]。 这里采用CIE1976色差来评价光谱匹配的色度精度, 使用D50光源和2° 观察视场下标准色度观察者的三刺激值, 用均方根误差RMSE和拟合度GFC来评价光谱匹配的光谱精度^[16]。

CIE1976色差公式(7)

ΔE=(ΔL2+Δa2+Δb2)(7)

均方根误差RMSE, 见式(8)

RMSE=∑(Rm-Rrecon)2n(8)

拟合度GFC, 见式(9)

GFC=∑(Rm×Rrecon)∑(Rm2)∑(Rrecon)2(9)

在减色线性经验空间建立时n值的确定以及空间有效性评价的实验中, 选取三种纸张和两台数码印刷机分别印刷IT8.7/3色标(1 120色块)得到6张印刷样张, 这里使用数码印刷机自身配备的墨粉或墨膏来摸拟不同品牌的油墨, 并使用X-rite i1 Pro2测量每个色块的光谱反射率作为n值准确性优化实验和空间有效性评价实验的数据样本。 具体使用纸张和数码印刷机类型如下:

Konica Minolta C1085数码印刷机及其配套4色墨粉, HP indigo5600数码印刷机及其配套的4色墨膏, 三种纸张编号及类型, 见表1。

表1

Table 1

表1(Table 1)

表1 实验中纸张类型 Table 1 Paper types in experiments 纸张编号 类型 克重/g 纸张色度 L a b 1# 铜版纸 157 96.903 0.036 8 4.775 0 2# 白卡纸 220 94.776 -0.485 7 1.481 4 3# 白卡纸 230 92.572 1.122 9 -4.506

表1 实验中纸张类型 Table 1 Paper types in experiments

3.2.1 转换因数n值的确定

经上述实验得到6组样张的光谱反射率, 其中Konica Minolta C1085数码印刷机打印的样张用KM表示, HP indigo5600数码印刷机打印的样张用HP表示, 在取一系列不同n值的情况下, 计算测量的光谱反射率R_m与重构后的光谱反射率R_recon之间的均方根误差RMSE和两者之间f范数的平方即‖ R_m-R_recon ‖f2的值, 并用两者范数平方值的曲线图和RMSE曲线图来表征不同n值下的结果, 探究不同纸张和油墨下的最佳n值及其对n值的影响, 如图2和图3。

从图2和图3中可以明显看出, 同一数码印刷机打印不同纸张时获得的光谱反射率与重构光谱反射率的f范数和RMSE最小时, 所取n值不尽相同, 同一纸张分别用两台印刷机打印时获得的光谱反射率与重构光谱反射率的f范数和RMSE最小时, 所取n值也不相同, 6组样本f范数平方值最小时n值分别是3.3, 3.8, 3.6, 3.2, 3.5, 3.4, RMSE最小时n值分别是3.4, 3.8, 3.7, 3.2, 3.3, 3.4, 虽然n值不同但其范围在3~4之间, 并且n值在该范围内同一样本的f范数和RMSE的值相差在千分位之后, 可忽略不计。 即纸张与数码印刷机均对空间转换模型中的n值产生影响但影响程度可忽略, 将n的选取对各种纸张和油墨的影响减到最小, 最终确定n值为3.5。

图2

Fig.2

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	图2 Rm与Rrecon的范数平方曲线图Fig.2 The diagram of f norm square of Rm and Rrecon

分别对样本光谱反射率在选取各自最佳n值和n=3.5时, 转到线性经验空间中并对其进行主成分分析PCA得到各自的累计贡献率, 并取前6个基向量对应的累计贡献率和基向量4和5累计贡献率的增长速度列入表2, 以探究固定n值为3.5是否会影响经验空间的线性程度, 进一步影响原色油墨的预测。 由于样本2^#KM的最佳n值即3.5, 故取其他5组样本数据。 从表中可以明显看出5组样本中最佳n值和n=3.5时, 4个特征值以后的累计贡献率几乎相同均达到99.9%以上, 差异可以忽略不计, 且4和5基向量对应的累计贡献率的增长速度均小于0.03%, 实际印刷样张时使用的油墨数目也是4个, 即n=3.5对4个特征值以后的累计贡献率无影响, 对经验空间中原色油墨数目的预测也无影响, 故最终确定n=3.5是建立经验空间的最佳转换因数。

图3

Fig.3

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	图3 Rm与Rrecon的RMSE曲线图Fig.3 The RMSE diagram of Rm and Rrecon

表2

Table 2

表2(Table 2)

表2 不同n值下6组样本的前6个累计贡献率及4, 5之间增长速度 Table 2 The first 6 cumulative contribution rates and the growth rate between 4 and 5 of 6 sets samples under different n values 基向量 1#HP 2#HP 3#HP 1#KM 3#KM n=3.3 n=3.5 n=3.8 n=3.5 n=3.6 n=3.5 n=3.2 n=3.5 n=3.4 n=3.5 1 0.663 88 0.662 87 0.672 50 0.673 81 0.690 68 0.691 05 0.683 36 0.682 15 0.687 44 0.686 94 2 0.866 24 0.865 18 0.868 52 0.869 85 0.868 49 0.869 00 0.867 78 0.866 15 0.868 72 0.868 21 3 0.996 49 0.996 52 0.996 51 0.996 47 0.997 29 0.997 28 0.995 59 0.995 61 0.995 54 0.995 55 4 0.999 57 0.999 57 0.999 57 0.999 56 0.999 64 0.999 64 0.999 81 0.999 81 0.999 82 0.999 82 5 0.999 83 0.999 83 0.999 82 0.999 82 0.999 85 0.999 85 0.999 91 0.999 91 0.999 91 0.999 91 6 0.999 91 0.999 90 0.999 90 0.999 90 0.999 91 0.999 91 0.999 94 0.999 94 0.999 93 0.999 95 差值 0.000 27 0.000 26 0.000 25 0.000 26 0.000 21 0.000 21 1× 10-4 9.8× 10-5 9× 10-5 8.6× 10-5

表2 不同n值下6组样本的前6个累计贡献率及4, 5之间增长速度 Table 2 The first 6 cumulative contribution rates and the growth rate between 4 and 5 of 6 sets samples under different n values

图4

Fig.4

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	图4 4原色油墨光谱反射率曲线Fig.4 Spectral reflectance curves of 4 primary color ink

图5

Fig.5

	Figure Option ViewDownloadNew Window
	图5 经验空间4原色光谱特性曲线Fig.5 Spectral characteristic curves in experience space

3.2.2 减色线性经验空间的分析评价

经过上述确定最佳n=3.5后, 选取1^#HP样本数据为例建立减色线性经验空间, 分析评价减色线性经验空间对半色调原稿原色油墨数目和光谱预测的有效性, 1^#HP样本数据是由惠普数码印刷机使用4色印刷墨膏在157 g铜版纸上印刷IT8.7/3色标, 并由X-rite i1 pro2测量光谱反射率得到的数据, 其中4种原色油墨的光谱反射率曲线和经验空间中光谱特性曲线如图4和图5。

表3

Table 3

表3(Table 3)

表3 两空间中的贡献率和累计贡献率的比较 Table 3 Comparison of contribution rates and cumulative contribution rates in two spaces 基向量 原光谱反射率空间Rm 减色线性经验空间Θ 贡献率 /% 累计贡献 率/% 贡献率 /% 累计贡献 率/% 1 0.703 56 0.703 56 0.662 87 0.662 87 2 0.198 02 0.901 58 0.202 30 0.865 18 3 0.093 96 0.995 54 0.131 34 0.996 52 4 0.003 57 0.999 11 0.003 05 0.999 57 5 0.000 42 0.999 53 0.000 26 0.999 83 6 0.000 32 0.999 85 7.07× 10-5 0.999 91

表3 两空间中的贡献率和累计贡献率的比较 Table 3 Comparison of contribution rates and cumulative contribution rates in two spaces

将1^#HP样本数据分别在减色线性经验空间Θ 和原光谱反射率空间R_m进行PCA, 将前6个特征值对应的贡献率和累计贡献率列于表3中, 并用前6个基向量分别重构两空间并评价分析重构结果的光谱精度和色度精度, 将评价结果用色差和均方根误差列于表4中。

特征值的贡献率对应于特征向量对数据集信息量的贡献程度, 累计贡献率指前几个特征向量代表整个数据集的信息量。 从表3中可以明显看出, 减色线性经验空间中前4个基向量的累计贡献率达到99.96%, 且增长速度为0.026%小于0.03%, 而光谱反射率空间至少需要前6个基向量才能达到相同的信息贡献程度, 且前5个基向量累计贡献率的增长速度都大于0.03%。 从表4中, 也可以看出相同基向量个数重构时, 减色线性经验空间的重构结果要优于光谱反射率空间, 前3个基向量重构Θ 空间时最大色差为29, 最大均方根误差为0.03, 用前4个基向量重构时最大色差为1.6, 最大均方根误差为0.007, 色差和均方根误差都在可接受范围内, 重构Θ 空间时重构结果在可接受范围内的最低基向量数目为4, 而相同基向量个数重构光谱反射率空间的结果均不如经验空间的重构结果。

表4

Table 4

表4(Table 4)

表4 两空间光谱重构后的Δ E和RMS评价 Table 4 The Δ E and RMS evaluation of spectral reconstruction in two spaces 基向量 Rm空间Δ E Θ 空间Δ E Rm空间RMSE Θ 空间RMSE 平均值 最大值 平均值 最大值 平均值 最大值 平均值 最大值 1 29.558 7 82.878 3 20.080 3 87.766 6 0.277 32 0.079 41 0.074 08 0.210 91 2 22.160 5 116.890 13.989 6 90.590 2 0.187 42 0.038 31 0.038 19 0.144 77 3 4.803 82 32.175 4 1.707 95 29.058 6 0.053 68 0.014 38 0.009 94 0.033 29 4 0.773 26 4.707 0 0.226 52 1.633 3 0.021 95 0.004 50 0.001 99 0.006 93 5 0.611 22 2.980 9 0.151 74 1.554 2 0.016 07 0.003 16 0.001 44 0.005 17 6 0.316 32 2.344 7 0.122 9 1.148 7 0.009 80 0.002 13 0.001 11 0.004 63

表4 两空间光谱重构后的Δ E和RMS评价 Table 4 The Δ E and RMS evaluation of spectral reconstruction in two spaces

图6

Fig.6

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	图6 经验空间中对IT8.7/3色标原色油墨的光谱预测 (a): 黑色油墨的预测; (b): 青色油墨的预测; (c): 品色油墨的预测; (d): 黄色油墨的预测Fig.6 Spectral prediction of IT8.7/3 color printed primary ink in empirical space (a): Prediction of black ink; (b): Prediction of cyan ink; (c): Prediction of magneta ink; (d): Prediction of yellow ink

因此该减色线性经验空间中4个基向量能够充分表征整个数据样本的信息, 这与原稿实际使用印刷油墨数目相一致, 其代表性基向量数目可作为预测原稿原色油墨数目的标准, 故减色线性经验空间适合用于原色油墨数目预测。

表5

Table 5

表5(Table 5)

表5 经验空间中IT8.7/3色标原色油墨的 预测光谱与实际光谱的比较 Table 5 Comparison of predicted spectra and actual spectra of IT8.7/3 in empirical space 原色油墨 GFC Δ E RMSE K 0.966 18 24.117 0.298 68 C 0.999 46 2.413 0.013 05 M 0.999 70 1.694 0.011 09 Y 0.999 91 2.385 0.004 39

表5 经验空间中IT8.7/3色标原色油墨的 预测光谱与实际光谱的比较 Table 5 Comparison of predicted spectra and actual spectra of IT8.7/3 in empirical space

在减色线性经验空间Θ 中能够准确预测原稿使用的原色油墨数目后, 便可进一步在Θ 空间进行对原色油墨的光谱预测, 光谱预测算法使用有条件约束的非负矩阵算法, 约束条件根据原稿光学特性设定, 在经验空间中预测结果和原色油墨光谱特性曲线对比如图6, 图中三彩色油墨对比曲线经过归一化处理, 四种油墨预测中除了黑色油墨预测结果有待提高外, 其他三种青、 品、 黄彩色油墨的预测结果已经很准确, 与实际原色油墨的光谱特性曲线拟合度均能达到99.9%以上, 色差均小于3, 评价参数列于表5中。 预测黑色油墨的光谱特性曲线形状类似于三彩色油墨光谱特性曲线的线性叠加, 与半色调原稿的减色呈色原理相关, 中性灰的呈色是其他三彩色油墨对光线混合吸收叠加的结果, 预测得到的K像是运用了底色去除GCR印刷工艺, 这对真正使用的K色油墨的预测有一定程度干扰, 对K色油墨的预测还有待进一步研究, 但这并不妨碍说明减色线性经验空间对半色调原稿原色油墨光谱预测的有效性。