文献[10]已经证明了太赫兹波在空间呈现高斯光学分布的规律。 当样品表面具有凹陷时, 平行于太赫兹波传播方向的凹陷深度会对皮秒量级的太赫兹波传播情况造成影响, 而与太赫兹波传播方向相垂直的凹陷宽度对太赫兹波的影响与太赫兹波的高斯空间分布特性有关。 每个频率的太赫兹波在样品表面并不是均匀分布的, 而是满足一定的空间分布关系。 因此, 结合太赫兹波的空间高斯分布理论来研究样品表面凹陷形态对太赫兹透射光谱的影响是十分必要的。

如图1所示, 符合高斯光学模型的太赫兹波穿过外径为R₁, 内径为R₂, 深度为d, 厚度为s的圆柱形凹陷孔样品。 图1(a)为带有凹陷的样品俯视图, 图1(b)为主视图, 内外圆同心, 图1(c)为符合高斯分布的太赫兹波垂直入射到样品表面的示意图。 对于入射到样品表面的太赫兹波来说, 可以分为两个部分, 如图1(c)所示。 第一部分是凹陷部分, 0< r< R₂, 用 E⇀sam1表示。 第二个部分是无凹陷部分, R₂< r< R₁, 用 E⇀sam2表示。 E⇀sam1和 E⇀sam2分别为照射在样品表面两个部分上的太赫兹波总和。 E⇀sam1=∫0R2∫02πE⇀(r, z)rdrdθ。E⇀sam2=∫R2R1∫02πE⇀(r, z)rdrdθ。E⇀(r, z)表示距离束腰位置z处, 垂直于光束传播方向的平面内距离光斑中心距离为r的某一频率的太赫兹波矢量场, 可以表示为^[10]

E⇀(r, z)=E⇀oωoω(z)exp-r2ω2(z)·exp-ikz-arctanzzo+r22R(z)(1)

图1

Fig.1

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	图1 样品俯视图(a); 样品主视图(b); 高斯光束透射样品过程示意图(c)Fig.1 Top view of the sample (a); Main view of the sample (b); Schematic diagram of transmission process of Gaussian beam (c)

式(1)中, E⇀o为离束腰位置z处的中心场, ω (z)为光斑半径, ω _o为束腰半径, 两者之间满足ω ²(z)= ωo2(1+z²/ zo2), k为波数, R(z)为与z和z_o相关的等式, z_o= ωo2π /λ 表示瑞利长度, λ 为入射波波长。 经过测试拟合得到束腰半径ω _o为

ωo=28.31exp-f+0.55340.34022+7.404×1015exp-f+685114.72(2)

式(2)中, f为频率, 单位为THz, ω _o的单位为mm。 图1中, s和d分别为样品厚度和凹陷深度。 当 E⇀sam1在凹陷中传播距离d后又在样品中传播距离s-d, 透射出样品表面后的信号 E⇀sam1'为

E⇀sam1'=4n(1+n)2∫0R2∫02πE⇀(r, z)rdrdθ·exp-iωdcexp-in˙(ω)ω(s-d)c(3)

式(3)中, n˙(ω )=n(ω )-iκ (ω ), n(ω )和κ (ω )分别为样品折射率和消光系数, 4n/(1+n)²为在样品上下表面发生的菲涅尔损耗, E⇀sam2在样品中传播距离s后, 透射出样品表面后的信号 E⇀sam2'为

E⇀sam2'=4n(1+n)2∫R2R1∫02πE⇀(r, z)rdrdθexp-in˙(ω)ωsc(4)

因此探测器探测到的角频率为ω 的太赫兹波场 E⇀sam为两部分之和, 即 E⇀sam= E⇀sam1'+ E⇀sam2'

E⇀sam=4n(1+n)2{∫0R2∫02πE⇀(r, z)rdrdθ·exp-iωdcexp-in˙(ω)ω(s-d)c+∫R2R1∫02πE⇀(r, z)rdrdθexp-in˙(ω)ωsc}(5)

根据上述过程, 探测器探测到的参考太赫兹场 E⇀ref=∫0R1∫02πE⇀(r, z)rdrdθexp(-iωs/c)。因此, 光谱传递函数H(ω)=E⇀sam/E⇀ref。

实验样品材料为聚四氟乙烯, 聚四氟乙烯在太赫兹波段的复折射率虚部可以忽略^[11], 折射率为1.45^[8]。 所有样品厚度s为2 mm, 凹陷的半径r和深度d各不相同。 实验之前调整好太赫兹光谱系统的束腰位置, 使太赫兹光束光斑中心与缺陷孔的圆心相重合。 太赫兹光谱测试实验在充满氮气的密闭气室中进行, 实验起始湿度为5%, 温度为18.4 ℃。 为了减小光路漂移和随机误差对实验结果产生的影响, 在实验测试过程中, 每组样品分别测得其对应的参考信号和透射信号, 并取三次测量结果的平均值作为最后的实验数据。 样品的凹陷的半径r和深度d由五十分度的游标卡尺测量多次取平均后获得, 具体测量数据见表1。

表1

Table 1

表1(Table 1)

表1 1#— 8#样品凹陷半径、 深度及均方根误差 Table 1 1#— 8# sample's depression radius, depth and RMSE Sample Radius* /mm Depth* /mm RMSE 1# 1.75± 0.01 0.59± 0.02 0.10 2# 1.52± 0.02 0.72± 0.01 0.21 3# 0.81± 0.02 1.12± 0.01 0.08 4# 0.62± 0.03 1.59± 0.01 0.06 5# 1.31± 0.02 0.96± 0.01 0.11 6# 1.53± 0.01 1.05± 0.01 0.12 7# 1.39± 0.01 1.22± 0.01 0.11 8# 1.75± 0.01 1.65± 0.01 0.08 注: * 测量结果为平均值± 标准差

表1 1#— 8#样品凹陷半径、 深度及均方根误差 Table 1 1#— 8# sample's depression radius, depth and RMSE

将时域信号截取掉回波之后进行傅里叶变换, 并与参考信号相除, 即可获得样品光谱传递函数的幅值实验数据。 将各个样品凹陷的深度和半径以及折射率代入式(5)与参考信号相除, 得到样品的光谱传递函数幅值的模型计算值。 1^#— 8^#的实验值和计算值如图2所示。 计算值与实验值之间的均方根误差如表1所示。 均方根误差按 ∑i=1N(yi-xi)2/N1/2计算得到。 其中, y_i为模型值, x_i为实验值, N为数据点个数。 从表1中可以看出, 模型计算值与实验值之间的均方根误差较小, 有着较高的一致性, 由此可以看出基于高斯光学建立的表面缺陷样品的太赫兹波透射模型有着较高的精确度。

图2

Fig.2

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	图2 光谱传递函数幅值 (a): 1#样品; (b): 2#样品; (c): 3#样品; (d): 4#样品; (e): 5#样品; (f): 6#样品; (g): 7#样品; (h): 8#样品Fig.2 Spectral transfer function amplitude (a): Sample 1#; (b): Sample 2#; (c): Sample 3#; (d): Sample 4#; (e): Sample 5#; (f): Sample 6#; (g): Sample 7#; (h): Sample 8#

针对凹陷深度对光谱传递函数幅值周期的影响仿真结果如图3(a), 这里的周期指的是图3(a)中点a和b之间的横向距离。 图中d和r分别代表圆凹陷深度和半径, 单位为mm。 从图3(a)中可以看出凹陷深度对光谱传递函数幅值周期有影响, 在凹陷半径相同的情况下, 随着凹陷深度的增加, 传递函数幅值的周期越来越小, 震荡频率越来越大, 但光谱传递函数幅值的震荡幅度没有明显变化, 甚至在某些频点, 如1.3 THz左右位置处, 波峰值位置有所重合。

图3

Fig.3

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	图3 半径相同, 深度不同的凹陷样品光谱传递函数幅值(a); 光谱传递函数幅值周期与凹陷深度之间的变化关系(b)Fig.3 Spectral transfer function amplitude of concave samples with the same radius and different depth (a); Variation relationship between the spectral transfer function amplitude period and depression depth (b)

如图3(b)所示, 为光谱传递函数幅值的周期与凹陷深度之间的拟合曲线, 圆形数据点由仿真得到。 所有数据点是在凹陷半径r=0.5 mm的条件下仿真得到。 此处仿真中光谱传递函数幅值周期值指的是图3(a)中两个波峰之间的横向距离, 如图3(a)点a和b之间的距离。 由仿真结果可以证实, 图3(b)中波峰之间的横向距离不随着凹陷半径r的变化而变化, 因此r=0.5 mm条件下拟合得到的光谱传递函数幅值周期和凹陷深度之间的关系是具有普适性的。 由不同凹陷深度进行仿真得到了不同的周期, 仿真数据如图3(b)中的灰色数据点所示, 由仿真数据可知, 随着凹陷深度的增加, 光谱传递函数周期越来越小, 凹陷深度和光谱传递函数幅值周期的关系具有单调性和一一对应的关系。 由含有两项的指数方程对仿真数据点进行最小二乘拟合, 拟合结果如式(6)

f(x)=4.072exp(-3.4x)+0.711exp(-0.3437x)(6)

式(6)中, x为周期, f(x)为得到凹陷的半径, 当输入周期x时, 会得到与之对应的凹陷半径。 式(6)表示了凹陷深度对光谱传递函数幅值周期的定量影响关系, 利用这种定量影响关系, 可以实现对非极性材料表面凹陷深度的定量检测。

利用凹陷深度对太赫兹光谱的影响从而实现对凹陷深度检测, 很多研究中都有涉及。 本实验室研究成果, 文献[5]中利用了太赫兹波的高时间分辨率特性, 基于太赫兹波光谱技术, 通过缺陷造成的延迟波与主波之间的时域差值量进行分析计算, 对缺陷深度进行了检测。 基于太赫兹时域谱的方法, 主要是依据缺陷所引起的太赫兹波在时域上延迟时间的影响。 应对深度较大的缺陷时, 这种影响的效果较为明显。 但是当样品内部凹陷尺寸较小时, 可能会造成主波和由缺陷造成的延迟波之间的重合, 影响效果微乎其微, 造成主波和延迟波无法分辨的现象。 文献[5]提及到当缺陷深度小于0.6 mm时, 通过缺陷对太赫兹时域谱的影响来对缺陷进行定量检测的方法将不再有效。 但是, 从图3(b)的仿真数据中可以看出, 凹陷深度对频域谱的影响程度还是比较大的, 只要太赫兹波频域谱有足够的宽度, 那么较小凹陷深度对频域谱的影响都是可以被判断出来的。 本系统所用太赫兹频谱范围为0.3~1.5 THz, 宽度为1.2 THz, 如图2(a)所示, 0.3~1.5 THz内频谱已经无法显示到两个连续波峰之间的横向距离。 设想一下, 当样品凹陷深度非常大时, 在有效可用频段内甚至无法显示出一个波峰或波谷, 而只有一条直线时, 不同凹陷深度的影响将无法进一步判断。 由式(6)可知, 频谱宽度为1.2 THz时, 对应凹陷深度值为0.53 mm。 也就是说, 在频谱宽度为1.2 THz的条件下, 凹陷深度在0.53 mm以上的影响可被判断出来, 即对0.53 mm以上的凹陷深度都可以实现定量检测, 比文献[5]中的方法提高了0.07 mm。 除此之外, 在频谱宽度小于2 THz时, 凹陷深度与光谱传递函数之间的变化关系的斜率比较大, 这样意味着对于凹陷深度检测的灵敏度非常高。 虽然当频谱宽度大于2 THz时, 能够提高对最小凹陷深度的检测能力, 但是检测的灵敏度会降低。 由此可见, 利用凹陷深度对太赫兹透射光谱的影响, 可以实现对更小尺度凹陷深度的检测。

针对凹陷半径对光谱传递函数幅值的影响仿真结果如图4(a)和(b)。 图中d和r分别代表凹陷的深度和半径, 单位为毫米。 从图4(a)、 (b)中可以看出凹陷半径对光谱传递函数幅值的影响。 如图4(a)所示, 在圆孔凹陷深度相同的情况下, 随着凹陷半径的增加, 光谱传递函数幅值的抖动幅度越来越大, 幅值的均值越来越小。 但是三个波形的周期完全相同, 没有变化。 但是, 从图4(b)可以看出, 在凹陷深度相同的情况下, 随着凹陷半径的增加, 光谱传递函数幅值的抖动幅度越来越小, 幅值的均值越来越大。 因此, 从图4(a)、 (b)可以得出结论, 在凹陷深度相同时, 光谱传递函数幅值的均值并没有呈现出特定的规律, 可能是随着凹陷半径的增加而增加, 也有可能是随着凹陷半径的增加而减小。

图4

Fig.4

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	图4 半径不同, 深度相同的凹陷样品光谱传递函数幅值(a), (b); 光谱传递函数幅值均值与凹陷半径之间的关系(c)Fig.4 Spectral transfer function amplitude of concave samples with different radii and the same depth (a), (b); Relationship between mean spectral transfer function amplitude and depression radius (c)

对不同凹陷半径与光谱传递函数幅值均值的变化进行仿真得到了图4(c)。 图4(c)中的横坐标为凹陷半径, 在仿真中, 设定最大值为6.4 mm。 纵坐标为光谱传递函数幅值在0.3~1.5 THz之间的均值。 凹陷深度对光谱传递函数幅值周期的定量影响关系具有单调性和一一对应的关系, 但是从图4(c)中可以看出, 凹陷半径与光谱传递函数幅值均值不存在单调关系。 开始时, 随着凹陷半径的增加, 光谱传递函数幅值均值逐渐减小, 当凹陷半径增加到2 mm左右时, 随着凹陷半径的增加, 光谱传递函数幅值均值逐渐增加, 到5 mm左右时, 光谱传递函数幅值均值不再随半径的增加而有明显变化。 凹陷半径对光谱传递函数幅值均值的定量影响不具有单调性, 且会受到凹陷深度的影响, 不同凹陷深度的光谱传递函数幅值会在最小值处有明显的变化。 光谱传递函数幅值均值与凹陷半径之间不是单调关系, 两个不同的凹陷半径值可能会对应同一个光谱传递函数幅值均值, 在此情况下, 当两个凹陷又同时具有相同的深度时, 它们的光谱传递函数曲线将会完全相同。 此时, 凹陷半径对光谱传递函数幅值的影响是相同的。 因此, 无法利用光谱传递函数幅值均值与凹陷半径之间的定量关系对凹陷半径进行定量计算, 除非已知凹陷半径范围处于单调递减区间或者是单调递增区间内。 但是在实际工业无损检测的应用中, 对样品凹陷半径范围进行假设并不符合实际情况。

从图4(c)中可以看出, 在凹陷半径超过5 mm之后, 光谱传递函数幅值均值几乎不再随半径的变化而变化, 光谱传递函数幅值均值不再受到半径的影响。 从图4(c)中可以分析出5 mm之后不再有明显变化的原因是, 0.3~1.5 THz以内的太赫兹波的光斑半径都在5 mm以内, 有效频段内的太赫兹波的能量几乎全部透过。 即使照射在样品上的太赫兹波在与传播方向垂直的方向上光强满足高斯函数的规律, 但凹陷半径超过一定尺寸后, 太赫兹波的强度将不再随半径的增加有明显的强度上衰减的变化, 太赫兹波对与传播方向垂直的缺陷尺寸信息不再敏感, 因此光谱传递函数幅值均值不再随半径的增加而有明显变化。 当太赫兹波满足高斯光学分布规律时, 样品表面凹陷对太赫兹波光谱传递函数幅值幅度的影响与凹陷位置也有关系, 当凹陷位置远离光斑中心时, 透射过凹陷位置的太赫兹波强度较小, 凹陷半径对光谱传递函数幅值的影响程度很小。 当凹陷位置靠近太赫兹波光斑时, 太赫兹波的强度大, 对凹陷半径大小较为敏感, 此时凹陷半径对太赫兹波光谱传递函数幅值的影响程度较大。 因此, 为了摆脱凹陷半径对太赫兹波光谱传递函数幅值的影响不受凹陷位置的限制, 其中一个最有效的方法是提高太赫兹波的功率, 增大太赫兹波的光斑半径, 使整个样品都在太赫兹波有效频段的光斑半径之内。