基于广义逆-坐标变换的多光谱辐射测温反演算法

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邢键, 刘志军, 韩冰, 郝向炜. 基于广义逆-坐标变换的多光谱辐射测温反演算法[J]. 光谱学与光谱分析, 2023,43(6): 1936-1940.
XING Jian, LIU Zhi-jun, HAN Bing, HAO Xiang-wei. Multi-Spectral True Temperature Inversion Algorithm Based on Generalized Inverse Matrix-Coordinate Rotation Method[J]. Spectroscopy and Spectral Analysis, 2023,43(6): 1936-1940.
Doi:10.3964/j.issn.1000-0593(2023)06-1936-05 复制到剪切板

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基于广义逆-坐标变换的多光谱辐射测温反演算法

邢键, 刘志军, 韩冰, 郝向炜^*

东北林业大学, 黑龙江哈尔滨 150040

*通讯作者 e-mail: 50001546@qq.com

作者简介: 邢键, 1979年生, 东北林业大学信息与计算机工程学院教授 e-mail: xingniat@sina.com

收稿日期: 2020-11-13 修回日期: 2022-04-14

基金: 国家自然科学基金项目(61405045, 61975028)资助

摘要

多光谱辐射测温在高温测量领域应用广泛。但是, 未知的光谱发射率是多光谱辐射测温反演过程的最大困难。目前, 解决方法多采用假设发射率模型法, 二次测量法等, 此类方法反演精度取决于假设的发射率模型和实际发射率是否相符, 多数情况下反演结果误差较大。基于约束优化的多光谱辐射温度数据处理算法解决了未知发射率的难题, 但受迭代算法的复杂性和初值难以确定的影响, 反演精度和效率不高。为此, 提出广义逆-坐标轮换算法解决约束优化算法中的反演效率问题。由于广义逆法需对发射率范围进行约束, 坐标轮换法需设定合适的发射率初值, 考虑两种算法各自的优势与不足, 可对两种算法进行结合。将广义逆法求得的最小范数解作为约束优化算法中迭代搜索的初始点, 进一步提高了算法对不同材料发射率的适应度。为验证算法是否能在无需考虑发射率模型的前提下寻找符合待测目标的发射率和真温, 选取六种不同发射率类型的目标材料进行仿真实验。针对六种典型材料的仿真结果表明, 新方法在真温1 800 K的情况下, 绝对误差和相对误差均小于5.0%, 与梯度投影法相比运算效率平均提高了202倍。表明该算法具有无需考虑发射率模型、反演精度高, 速度快, 适合于各类材料等优点, 解决了约束优化算法中初值选择不确定的问题, 为在线实时高温测量中的数据处理提供了解决方案。

关键词: 多光谱辐射测温; 发射率; 广义逆-坐标轮换法

中图分类号:TK3 文献标志码:A

Multi-Spectral True Temperature Inversion Algorithm Based on Generalized Inverse Matrix-Coordinate Rotation Method

XING Jian, LIU Zhi-jun, HAN Bing, HAO Xiang-wei^*

Northeast Forestry University, Harbin 150040, China

*Corresponding author

Abstract

Multi-spectral radiation temperature measurement measures multiple spectral radiation intensity information of a certain point of the object to be measured and obtain the true temperature through the Planck formula inversion. However, the unknown spectral emissivity is the biggest obstacle to the inversion process of multi-spectral radiation temperature measurement. At present, a set of emissivity models (emissivity-wavelength or emissivity-temperature models) are often used in advance. If the assumption model matches the actual situation, the inversion result can meet the requirements. If the assumption model does not match the actual situation, the reverse result of the performance is a very error. Whether it can realize the direct inversion of true temperature and spectral emissivity without any hypothetical model of spectral emissivity has always been a hot and difficult point in the theoretical research of multi-spectral radiation temperature measurement. For this reason, a generalized inverse matrix-coordinate rotation algorithm is proposed to transform the inversion problem of multi-spectral radiation temperature measurement into a constrained optimization problem. Since the generalized inverse method needs to constrain the emissivity range, and the coordinate rotation method needs to set a proper initial emissivity value, considering the respective advantages and disadvantages of the two algorithms, the two algorithms can be combined. The minimum norm solution obtained by the generalized inverse method is used as the initial point of the iterative search in the constrained optimization algorithm, which further improves the adaptability of the algorithm to the emissivity of different materials. In order to verify whether the algorithm can find a special solution that meets the thermophysical parameters (emissivity) and true temperature of the target under test without considering the assumed relationship between emissivity and wavelength, six types of targets with a representative emissivity change trend are selected Material is simulated experiment. The simulation results of six different spectral emissivity models show that the new algorithm does not require any prior knowledge about emissivity, and the inversion results of different emissivity models perform well. In the case of a true temperature of 1 800 K, the absolute error and relative errors are less than 5.0%. Compared with the gradient projection method, the calculation efficiency is increased by 202 times on average. It shows that the algorithm has the advantages of not considering any prior knowledge of spectral emission rate, fast inversion speed and being suitable for various emission models. It further improves the theory of multi-spectral radiation temperature measurement and has good application prospects in high-temperature measurement.

Keyword: Multi-wavelength radiation thermometry; Emissivity; Generalized inverse matrix-coordinate rotation

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引言

多光谱辐射测温技术在温度测量领域有着举足轻重的重要地位, 在高温测量领域得到了广泛应用^{[1, 2, 3]}。但是受未知发射率的影响, 反演时需要凭借经验事先假设发射率模型, 而发射率函数难以获得, 因此影响测温结果。

目前在多光谱辐射测温技术数据处理方法中, 多采用假设发射率模型的方法, 利用经验公式, 拟合出发射率模型公式^{[4, 5, 6, 7, 8]}; 由于材料在不同温度下的不同特性, 很难完全假设出符合各类条件的发射率模型函数; 当发射率模型与实际不符时, 反演精度误差很大。基于约束优化的数据处理方法解决了未知发射率的难题^{[9, 10, 11, 12]}, 但由于约束优化算法迭代过程的复杂性, 以及初值选择的不确定性, 都会影响到反演精度, 反演速度较慢, 难以满足实时测量的应用场景。

为此提出广义逆-坐标轮换法应用于多光谱辐射真温反演, 将广义逆矩阵计算得到的结果作为坐标轮换法的初值, 结合多光谱辐射测温数学模型, 实现了对发射率和真温的快速反演。该算法为解决实时高温在线测量提供了方案。

1 算法原理

根据参考温度数学模型有

$\frac{V_{i}}{V'_{i}} = ε (λ_{i}, T) e^{- \frac{c_{2}}{λ_{i} T}} e^{\frac{c_{2}}{λ_{i} T'}} V'_{i}$ (1)

式(1)中, V_i是目标在真实温度T下的第i个光谱通道的输出电压, V'_i是第i个光谱通道在标定温度T下的第i个通道的输出电压, λ _i是第i个通道的有效波长, ε (λ _i, T)是光谱发射率, C₂是第二热辐射常数。整理得

$\ln (\frac{V_{i}}{V'_{i}}) - \frac{c_{2}}{λ_{i} T'} = - \frac{c_{2}}{λ_{i} T} + \ln ε (λ_{i}, T)$ (2)

将式(2)中的已知量用Y_i, 含光谱发射率的未知量用X_i, 含温度的未知量用Z统一表示得

$\frac{\ln (\frac{V_{i}}{V'_{i}}) - \frac{c_{2}}{λ_{i} T'}}{Y_{i}} = \frac{\ln ε (λ_{i}, T)}{X_{i}} + \frac{(- \frac{c_{2}}{λ_{i}})}{a_{i}} \frac{\frac{1}{T}}{Z}$ (3)

约束优化的数学模型转换成矩阵的形式可以表示为

$[\begin{array}{l} Y_{1} \\ Y_{2} \\ ︙ \\ Y_{n} \end{array}] = [\begin{array}{l} 1 & 0 & \dots & 0 & a_{1} \\ 0 & 1 & \dots & 0 & a_{2} \\ ︙ & ︙ & \dots & ︙ & ︙ \\ 0 & 0 & \dots & 1 & a_{n} \end{array}] [\begin{array}{l} X_{1} \\ X_{2} \\ ︙ \\ X_{n} \\ Z \end{array}]$ (4)

即Y=AX形式, 其中A是n× (n+1)矩阵, 方程(4)为欠定方程组, 可利用广义逆矩阵理论对方程组进行求解^[13]。

由式(4)可知, 矩阵A的秩rankA=n, 即A行满秩, 加号逆A⁺可用A⁺=A^H(AA^H)^-1表示^[12]。式(4)的唯一解可表示为

$X = A^{+} Y$ (5)

式(5)中, X为符合 $\min_{Y = Ax}$ ‖ x‖ 的极小范数解, 即Y=Ax收敛于这一点。当发射率为 $\min_{Y = Ax}$ ‖ ε ‖ 时, 其解将与实际发射率接近, 从而通过反演获得被测目标的发射率和真实温度。

由于没有限定发射率范围, 基于广义逆反演得到的部分光谱发射率大于1, 则用广义逆法求得的极小范数解有部分不在可行域范围内, 因此选择坐标轮换法, 坐标轮换法不受约束条件范围即0≤ ε (λ _i, T)≤ 1的限制。

多光谱辐射测温的约束优化数学模型可从式(6)得

$\{\begin{array}{l} \min f (x) = \overset{n}{\sum_{i=1}} {[\frac{C_{2}}{λ_{i}} \frac{1}{x_{i} + D_{i}} - \frac{1}{n} \overset{n}{\sum_{i=1}} (\frac{C_{2}}{λ_{i}} \frac{1}{x_{i} + D_{i}})]}^{2} \\ x_{i} \leq 0 \end{array}$ (6)

利用坐标轮换法可以解决如下约束优化问题

$\begin{array}{l} \min f (x), \\ s.t. \{\begin{array}{l} h_{j} (x) = 0, & j = 1, 2, \dots, m \\ g_{i} (x) \geq 0, & i = 1, 2, \dots, k \end{array} \end{array}$ (7)

式(7)中: f(x)为目标函数, 式(6)中的f(x)。 h_j(x)为等式约束条件, 不存在时, 只需使用不等式约束条件。 g_i(x)为不等式约束条件, 式(6)中的x_i。

该优化方法是一个不等式约束优化问题, 在MATLAB中实现坐标轮换法为minconPF, 其调用格式为

$[x, \min f] = \min conPS (f, g, x_{0}, delta, u, var, eps 1, eps 2)$

其中x为目标函数最小值对应的自变量值; minf为目标函数最小值; f为目标函数; g为不等式约束函数; x₀为初始点即广义逆法反演得到的发射率; delta为步长, 取值0.01; u为收缩系数, 取值为4; var为自变量向量; eps1为步长精度, 取值0.000 1。

2 算法流程

首先应用广义逆矩阵原理求解多光谱辐射测温欠定方程组的极小范数解, 然后将解作为坐标轮换法的初始点, 通过坐标轮换法求得最优解作为发射率和真实温度反演结果。具体步骤为:

(1)利用多光谱辐射温度计的测量值构建如式(4)所示的相容欠定方程组;

(2)利用广义逆矩阵原理求解方程组的加号逆A⁺, 获得方程组的极小范数解;

(3)将步骤(2)中的极小范数解作为坐标轮换法的初始点, 通过多光谱辐射测温的约束优化模型如式(7)所示, 构建目标函数, 确定坐标轮换法的相关参数;

(4)利用坐标轮换法求得多光谱辐射测温约束优化模型最优解, 即可反演获得目标的光谱发射率和真实温度。

广义逆矩阵和坐标轮换法相结合的算法流程如图1所示。

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	图1 算法流程图Fig.1 Algorithm flowchart

3 算法仿真及对比

为验证算法的可行性, 选取了发射率变化趋势比较有代表性的六种目标材料(A— F)进行仿真实验, 将算法的结果和梯度投影法对比。各材料真实发射率如表1所示(其中黑体的参考温度T'=1 600 K)。

表1 材料真实发射率 Table 1 Real emissivity of materials

图2为梯度投影和广义逆-坐标轮换两种方法的发射率反演对比。结果表明, 当目标温度为1 800 K时, 采用广义逆-坐标轮换法各材料发射率反演趋势与梯度投影法相比, 与真实发射率相吻合得更好。使用梯度投影法和广义逆-坐标轮换法都可以在一定误差范围内, 很好地反演出材料发射率, 但应用广义逆-坐标变换法得到的结果误差更小, 更接近材料的真实发射率。

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	图2 光谱发射率反演结果 (a): A材料; (b): B材料; (c): C材料; (d): D材料; (e): E材料; (f): F材料Fig.2 Inversion result of spectral emissivity (a): A material; (b): B material; (c): C material; (d): D material; (e): E material; (f): F material

由表2可知, 广义逆-坐标变换法在真温1 800 K的反演结果相对误差均小于5.0%, 与梯度投影法相比, 相对误差较小, 反演精度提升。由表3可知, 广义逆-坐标轮换法运行时间在2 s之内, 与梯度投影法相比, 运算效率平均提高202倍。在算法抗噪性方面, 课题组正在基于本文提出的算法研制相应的多光谱线温辐射测温仪, 待实测实验完成后, 结合系统噪声一并分析。

表2 真温1 800 K时温度反演结果的相对误差(%) Table 2 Relative error of temperature inversion result at true temperature of 1 800 K(%)

表3 真温1 800 K时算法运行时间(s) Table 3 Algorithm running time when true temperature is 1 800 K (s)

4 结论

提出基于广义逆-坐标轮换法的多光谱辐射真温反演算法、在约束优化的基础上, 采用广义逆的结果作为初值, 并与基于梯度投影法的多光谱辐射测温算法在精度和运行时间上进行对比, 精度和计算效率均有提升, 特别是计算效率方面, 提升显著。

新算法无需提前假设发射率模型函数, 同时解决了约束优化算法中迭代初值难以选择的问题, 反演精度高, 反演速度快, 适用性强, 可应用于实时多点高温的在线测量。

参考文献

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... 0 引言多光谱辐射测温技术在温度测量领域有着举足轻重的重要地位, 在高温测量领域得到了广泛应用^[1,2,3] ...

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