基于光谱分布曲线交点捕捉的辐射测温方法

引用本文

王佩琦, 程晓舫, 张德斌. 基于光谱分布曲线交点捕捉的辐射测温方法[J]. 光谱学与光谱分析, 2023,43(6): 1676-1682.
WANG Pei-qi, CHENG Xiao-fang, ZHANG De-bin. Radiation Thermometry Method Based on Intersection Capture of Spectral Distribution Curves[J]. Spectroscopy and Spectral Analysis, 2023,43(6): 1676-1682.
Doi:10.3964/j.issn.1000-0593(2023)06-1676-07 复制到剪切板

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基于光谱分布曲线交点捕捉的辐射测温方法

王佩琦, 程晓舫^*, 张德斌

中国科学技术大学工程科学学院热科学和能源工程系, 安徽合肥 230026

*通讯作者 e-mail: xfcheng@ustc.edu.cn

作者简介: 王佩琦, 1997年生, 中国科学技术大学工程科学学院热科学和能源工程系硕士研究生 e-mail: pqwang@mail.ustc.edu.cn

收稿日期: 2022-03-27 修回日期: 2022-06-07

基金: 国家自然科学基金项目(50976112)资助

摘要

现代科技发展对温度的辐射测量提出了更高的要求, 采用波长封闭求解温度的多波长测温法得到了广泛应用。然而准确确定被测物体发射率的函数表征是测量真实温度的难题。引入仪器测量的概念后, 将确定物体发射率的难题转化为确定仪器发射率模型, 用物体与仪器发射率光谱分布曲线的交点波长构造真实温度封闭求解的条件, 是辐射测温的一大进步。研究提出采用波段积分消除物体辐射二元函数带来的波长对测温的影响, 并且积分中值波长恰巧可以取代交点波长, 结合“谱色函数”实现了对上述曲线交点的捕捉, 完成了真实温度的测量。需要明确, 测温所需波长个数并非越多越好。对普朗克定律中第一、第二辐射常数进行修定, 得到了广义测温模型, 使得测量所需波长数目限定为“3”, 其可以作为普朗克定律与发射率级数模型乘积表征所需测温波长的下限数目, 这是辐射测温的另一突破。用物体辐射定义层面上的数学形式表示广义模型, 实现广义模型与线性仪器发射率的对接。在可见光与近红外大气窗口波段内, 对广义模型和仪器测量方程进行数值拟合, 验证了定义式与广义模型在任意波段内的适应性。在可见光波段内, 对金属钨的实验数据进行仿真计算, 结果表明: 广义模型通过调整有限的待定参数, 很好地还原了金属钨的辐射数据; “谱色函数”的设计能够实现对测温波长的有效分辨; 计算得到金属钨的温度相对误差均小于0.15%, 证明基于光谱分布曲线交点捕捉的测温方法是实现物体真实温度辐射测量的有效途径。

关键词: 真实温度; 波段积分; 交点波长; 广义模型; 波段适应性

中图分类号:O432.1 文献标志码:A

Radiation Thermometry Method Based on Intersection Capture of Spectral Distribution Curves

WANG Pei-qi, CHENG Xiao-fang^*, ZHANG De-bin

Department of Thermal Science and Energy Engineering, School of Engineering Sciences, University of Science and Technology of China, Hefei 230026, China

*Corresponding author

Abstract

With the development of modern science and technology, higher requirements are put forward for radiation measurement of temperature, and multi-wavelength thermometry using wavelength closure to solve temperature has been widely used. However, it is difficult to determine the functional representation of the emissivity of the measured object to measure the real temperature. After introducing the concept of instrument measurement, the problem of determining object emissivity is transformed into a model of determining instrument emissivity. It is great progress in radiometric temperature measurement to construct the closed solution condition of real temperature using the wavelengths, which are the intersections of spectral distribution curves of emissivity of object and instrument. Based on this, a method of band integral is proposed to eliminate the influence of wavelength on temperature measurement caused by the binary function of object radiation, and the median wavelengths of the integral can replace the wavelengths of intersections. Combining with the “spectral color function”, the intersections of curves can be captured, and the measurement of real temperature is completed. It should be clear that the number of wavelengths required for temperature measurement is not the more, the better. By modifying the first and second radiation constants of Planck's law, the generalized temperature measurement model is obtained, and the number of wavelengths required for measurement is limited to “3”, which can be used as the lower limit number of temperature measurement wavelengths required for the product of Planck's law and emissivity series model. It is another breakthrough in radiation temperature measurement. The mathematical form on the definition level of object radiation represents the generalized model, and the connection between the generalized model and the emissivity of the linear instruments is realized. In the visible and near-infrared atmospheric window bands, the generalized model and instrument measurement equation is numerically fitted, and the adaptability of the definition and generalized model in the arbitrary band is verified. The experimental data of tungsten metal are simulated in the visible light bands. The results show that the generalized model can well restore the radiation data of tungsten by adjusting the limited undetermined parameters. The “spectral color function” design can realize the effective resolution of temperature measuring wavelengths. The relative temperature errors of tungsten are less than 0.15%, which proves that the temperature measurement method based on the intersection capture of the spectral distribution curve is an effective way to realize the real temperature radiometric measurement of objects.

Keyword: Real temperature; Band integral; Intersection wavelength; Generalized model; Band adaptability

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引言

辐射测温不会破坏目标温度场, 在测量高温、高压、具有腐蚀性等环境的温度时具有优越性。采用光谱辐射数据和图像处理技术测量高温和超高温物体温度及热物性的方法已经用于航空航天、化工、燃烧、能源和材料等领域^{[1, 2, 3, 4, 5]}。

真实温度一直是辐射测温领域密切关注和有待突破的重要问题。物体辐射可以表述为

$I_{e} (λ_{K}, T) = I_{b} (λ_{K}, T) ε (λ_{K}, T), K = 1, 2, \dots$ (1)

式(1)中, I_b(λ , T)表示普朗克定律; ε (λ , T)为物体发射率。物体测温需要用波长λ _K构造封闭条件, 下标K表示封闭求解所需波长数目。

式(1)无法确定封闭求解温度所需的波长λ _K数目, 用多项式级数形式表征物体发射率。

$\begin{array}{l} I_{e} (λ_{K}, T) = I_{b} (λ_{K}, T) \overset{N}{\sum_{i=0}} a_{i} (t) λ_{K}^{i} \\ K = 1, 2, \dots, N + 2 \end{array}$ (2)

式(2)可确定波长λ _K数目, 此为多波长测温法的核心思想^{[6, 7, 8]}, 然而物体发射率的阶数N始终无法确定。用尽可能多的波长准确确定出发射率级数的阶数N和待定系数a_i(T), 是多波长测温法测量真实温度的关键。孙晓刚^[9]、 Araú jo^[10]等采用遗传神经网络、岭回归等算法试图解决上述测温关键问题, 却始终未能成就真实温度的测量。 Gao^[11]等引入反射率, 修正多波长法测温结果, 虽然提升了测温精度, 但仍然无法回答真实温度的测量问题。

引入测量的概念, 可以写出^[12]

$I_{b} (λ_{P}, T) [ε (λ_{P}, T) - f (λ_{P})] = 0, P = 1, 2, \dots$ (3)

测量温度时, 物体发射率仅是波长的函数, 因此用f(λ )表示的仪器发射率与物体相对应。若实际物体和仪器发射率分别用N和M阶多项式表示, 式(3)可以转化为

$I_{b} (λ_{P}, T) [\overset{N}{\sum_{i=0}} a_{i} (t) λ_{P}^{i} - \overset{M}{\sum_{i=0}} b_{i} λ_{P}^{i}] = 0, P = 1, 2, \dots, N$ (4)

式(4)方括号中表述的是两发射率曲线的相交状况。在交点波长数值集合(λ _P, P=1, 2, …, N)中选择测温波长, 也可以构造测得真实温度的封闭条件。这是因为物体辐射与仪器测量可分别表述为式(5)

$\{\begin{array}{l} 物体 : I_{b} (λ_{K}, T) ε (λ_{K}, T) = I_{b} (λ_{K}, T) \overset{N}{\sum_{i=0}} a_{i} (T) λ_{K}^{i}, \\ K = 1, 2, \dots, N + 2 \\ 仪器 : I_{b} (λ_{K}, T) f (λ_{K}) = I_{b} (λ_{P}, T) \overset{M}{\sum_{i=0}} b_{i} λ_{K}^{i}, \\ K = 1, 2, \dots, M + 2 \end{array}$ (5)

在仪器测量上可以实现交点波长对温度的封闭求解(M+2< N)。当N→ M时, 交点波长变成任意波长, 且个数不限。

在物体辐射描述下, 测得真实温度的关键是获得物体发射率的准确函数。引入测量概念后, 在两发射率曲线的交点处就可抓住物体的真实温度, 在交点波长下运用仪器发射率模型(物体发射率的阶数N转化为仪器发射率的阶数M)可以实现物体温度的封闭求解, 这是辐射测温的一大进步。需解决的问题是怎样捕捉仪器测量方程的交点波长以及测温所需的最少波长个数是多少。

1 辐射测温的完善

1.1 ε (λ , T)-f(λ )=0的实现

为确保波长选择不对温度测量造成影响, 并且保留交点波长构造封闭求解条件, 对物体辐射采用“ 谱色函数F_K(λ )” ^[13]下的波段积分, 见式(6)

$\begin{array}{l} I_{eK}^{Δ λ} (t) = \int_{Δλ} F_{K} (λ) I_{b} (λ, T) ε (λ, T) d λ \\ = \int_{Δ}^{λ} F_{K} (λ) I_{b} (λ, T) f (λ) d λ \end{array}$ (6)

采用积分中值定理, 式(3)可以转化为式(7)

$\begin{array}{l} \int_{Δ}^{λ} F_{K} (λ) I_{b} (λ, T) ε (λ, T) d λ - \int_{Δ}^{λ} F_{K} (λ) I_{b} (λ, T) f (λ) d λ \\ = \int_{Δ}^{λ} F_{K} (λ) I_{b} (λ, T) [ε (λ, T) - f (λ)] d λ \\ = F_{K} (λ_{m}) I_{b} (λ_{m}, T) [\overset{N}{\sum_{i=0}} a_{i} (t) λ_{m}^{i} - \overset{M}{\sum_{i=0}} b_{i} λ_{m}^{i}] Δ λ = 0, \\ λ_{m} \in Δ λ, K = 1, 2, \dots, M + 2, m = 1, 2, \dots, N \end{array}$ (7)

式(7)中, λ _m为积分中值波长; Δ λ 为积分波段。式(7)表明: (1)波段积分确保同一温度下, 物体与仪器发射率曲线[ε (λ , T)-f(λ )=0]存在交点; (2)曲线交点波长λ _P已被中值波长λ _m所取代; (3)“ 谱色函数” 的数目应满足仪器测温的封闭条件K=1, 2, …, M+2。

确定了仪器与物体辐射光谱分布曲线交点波长的捕捉方法后, 需要确定封闭求解温度所需的波长个数。

1.2 物体测温在不同函数形式下所需的波长数目

普朗克定律存在明确的函数形式, 如式(8)所示

$I_{b} (λ_{K}, T) = \frac{C_{1}}{π λ_{K}^{5} {\exp [C_{2} / (λ_{K} T)] - 1}}, K = 1$ (8)

普朗克定律建立了辐射强度与温度的定量关系, 采用单波长即可确定黑体温度。对第一、第二辐射常数进行变换, 并与仪器发射率模型(级数)比较

$\{\begin{array}{l} 级数 : I_{b} (λ_{K}, T) f (λ_{K}) = I_{b} (λ_{K}, T) \overset{M}{\sum_{i=0}} b_{i} λ_{K}^{i}, \\ K = 1, 2, \dots, M + 2 \\ 广义 : I_{p} (λ_{K}, T) = \frac{x_{1}}{π λ_{K}^{5} \{\exp \exp [\frac{x_{2}}{λ_{K} T}] - 1\}}, \\ K = 1, 2, 3 \end{array}$ (9)

式(9)中, 下标p表示广义测温模型。式(9)表明: 选择不同的函数形式对温度封闭求解所需波长λ _K数目有极大影响, 级数形式需要M+2个波长, 而广义模型仅需要3个波长。

图1为某一温度下物体辐射的光谱分布曲线I_e(λ , T)。在同一温度下, 通过调整广义模型中x₁, x₂的数值得到曲线I_P(λ , T), 其与物体辐射曲线I_e(λ , T)相交。令广义模型中x₂=C₂, 得到相同温度下灰体曲线I_g(λ , T), 再令x₁=C₁得到黑体辐射曲线I_b(λ , T)。因此, 只要在广义模型与实际辐射曲线交点处的波长集合中选择3个波长来构造封闭条件, 即可测量出真实温度。

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	图1 辐射强度光谱分布曲线示意图Fig.1 Schematic diagram of spectral distribution curve of radiation intensity

采用波段积分与“ 谱色函数” 实现了ε (λ , T)-f(λ )=0, 并且封闭求解温度所需的交点波长被中值波长所替代。用函数(广义模型)替换发射率级数表征, 确定了封闭求解所需波长的个数为“ 3” , 选择物体辐射的广义模型来确定测温波长数目, 是普朗克定律与发射率级数乘积表征下所需波长的下限数目, 是辐射测温的另一突破。

2 广义测温法波段适应性验证

为方便广义测温法在物体辐射定义I_b(λ , T)ε (λ , T)层面上的理解和应用, 需要把广义模型用定义层面上使用的数学形式予以表现。

对比式(9)广义模型与仪器测温(级数)模型, 在物体辐射测量值相同, 且求得温度数值也相同的情况下, 两式必然满足相同的封闭条件。因此对接广义模型与定义式, 可以确定仪器发射率的阶数M=1, 见式(10)

$\begin{array}{l} I_{b} (λ_{K}, T) \overset{1}{\sum_{i=0}} b_{i} λ_{K}^{i} = \frac{x_{1}}{π λ_{K}^{5} {\exp [x_{2} / (λ_{K} T)] - 1}}, \\ K = 1, 2, 3 \end{array}$ (10)

仪器发射率在测量波段内有效, 而广义模型可用于全波段, 因此对式(10)中两模型的波段适应性进行验证。

将仪器发射率无量纲化, 见式(11)

$\begin{array}{l} f (λ) = b_{0} (1 + mΛ), \\ m = \frac{b_{1}}{b_{0}}, Λ = \frac{λ - λ_{1}}{λ_{2} - λ_{1}}, λ \in (λ_{1}, λ_{2}) \end{array}$ (11)

图2表明: 在任意波段内, 无量纲波长Λ ∈ [0, 1], 无量纲发射率都满足实际发射率数值要求f(λ )∈ [0, 1], 仪器发射率系数的取值范围是b₀∈ (0, 1], b₁∈ [-1, 1]。可以选择任意波段对两模型的等值性进行验证。

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	图2 无量纲仪器发射率示意图Fig.2 Schematic diagram of emissivity of dimensionless instrument

在不同波段, 调整用级数表征的仪器发射率待定系数的数值, 得到相关数据。用广义模型中的系数x₁, x₂对数据进行拟合, 考察其拟合度, 验证适应性。将式(11)代入式(10), 两侧同时除以C₁b₀, 得到式(12)

$\begin{array}{l} V_{e} = \frac{1 + mΛ}{π λ^{5} {\exp [C_{2} / (λT)] - 1}} \Leftrightarrow \\ V_{P} = \frac{A}{π λ^{5} {\exp [x_{2} / (λT)] - 1}} \end{array}$ (12)

式(12)中, 比例系数A=x₁/C₁b₀; 系数m表示波段内仪器发射率的情况: 正数表示单增、负数单减、 0表示水平直线, 即黑/灰体。

假定温度T=1 800 K, 选择上述仪器发射率的三种情况(m=-1, 0, 1), 对辐射测温的常用波段— — 可见光波段(0.38~0.78 μ m)、近红外大气窗口(3~5 μ m)进行拟合, 计算结果如表1和图3所示。

表1 不同波段下线性发射率与广义函数模型拟合结果 Table 1 Fitting results of linear emissivity and generalized function model in different bands

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	图3 可见光波段与近红外大气窗口内波段适应性验证Fig.3 Verification of band adaptability between visible band and near infrared atmospheric window

当系数m=-1时, 在近红外波段λ ∈ [3, 5], 数值拟合必须采用无量纲发射率, 保证0< f(λ )< 1。数据V_e需要在Λ ∈ [0, 1]上遍历求解, 有Λ =1, V_e=0, 然而V_P反映的是全波长的情况, 当λ → 5 μ m时, V_P→ \ 0, 因此产生了数值拟合误差。在可见光波段, 当m=-1时, 可直接使用λ ∈ [0.38, 0.78]替换Λ ∈ [0, 1], 既满足0< f(λ )< 1, 又不会因为遍历求解造成误差。结果表明: 若忽略该误差影响, 可见光波段和近红外波段内, 各拟合曲线相关性均有R²> 0.99, 可以认为线性仪器发射率模型与广义模型在任意波段内具有适应性。因此直接用线性仪器发射率对金属钨实验数据进行模拟计算。

3 仿真计算

3.1 辐射数据拟合

文献[14, 15]给出金属钨在0.35~1.05 μ m波段内不同温度下的光谱发射率数据, 由公式I_e(λ , T)=I_b(λ , T)ε (λ , T)可得到金属钨的实际辐射强度数据, 并采用广义测温模型对金属钨的数据进行拟合。金属钨不同温度下真实发射率和辐射强度数据如图4(a, b)所示, 表2给出模型拟合结果。

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	图4 不同温度下金属钨发射率(a)和辐射强度(b)数据Fig.4 Emissivity (a) and radiation intensity (b) data of metal tungsten at different temperatures

表2 不同温度下金属钨辐射数据的模型拟合结果 Table 2 Model fitting results of metal tungsten radiation data at different temperatures

在0.35~1.05 μ m波段范围内, 各温度的拟合曲线与金属钨辐射数据的相关系数R²> 0.99, 结果表明: 广义模型用有限的待定系数(x₁, x₂)较好地还原了金属钨的辐射数据。

3.2 温度测量的验证

根据3.1节推导, 得到模拟测温的核心公式[式(13)]

$\begin{array}{l} V_{K} = \int_{λ_{i}}^{λ_{j}} F_{K} (λ) \frac{x_{1}}{π λ^{5} {\exp [x_{2} / (λT)] - 1}} d λ \\ = \int_{λ_{i}}^{λ_{j}} F_{K} (λ) I_{b} (λ, T) [b_{0} + b_{1} λ] d λ, \\ K = 1, 2, 3 \end{array}$ (13)

取可见光波段进行计算, λ _i=0.38 μ m, λ _j=0.78 μ m; “ 谱色函数簇” F_K(λ )用高斯函数表示^[12], 见式[14(a)和(b)]

$F_K(\lambda)=c_K\exp\bigg[-4\ln2\Big(\frac{\lambda-a_K}{\omega_K}\Big)\bigg],K=1,2,3$[14(a)]

$\Omega_K(\lambda_m)=\frac{F_K(\lambda_m)}{\sum\limits_{K=1}^3F_K(\lambda_m)},K=1,2,3$[14(b)]

式[14(a, b)]中Ω _K(λ _m)是中值波长λ _m的函数; “ 谱色函数” 具体参数为: 峰值c_K≡ 1; 中心波长α _K=[0.68, 0.58, 0.48] μ m; 峰值半高宽ω _K≡ 0.07 μ m。图5(a, b)分别绘制了“ 谱色函数” 曲线和中值波长函数Ω _K(λ _m)。该“ 谱色函数簇” 的设计可以较为有效地分辨出0.48~0.68 μ m波段范围, 其中在0.57~0.595 μ m, 波长较为密集, 但是仍然可通过函数[Ω ₁, Ω ₂, Ω ₃]进行分辨; 而0.38~0.48、 0.68~0.78 μ m的波段集中区域(横坐标为0和1), 无法实现有效分辨。

用线性模型中的被积函数建立温度数据库, 温度步长Δ T=1 K。用7阶多项式拟合金属钨发射率的实验数据, 金属钨的光谱辐射测量值可表示为式(15)

$V_{K} = \int_{λ_{i}}^{λ_{j}} F_{K} (λ) I_{b} (λ, T) \overset{7}{\sum_{i=0}} a_{i} λ^{i} d λ, K = 1, 2, 3$ (15)

选择测量值V₁, V₂和确定的温度T, 可以计算出仪器发射率系数b₀, b₁, 见式(16)

$\{\begin{array}{l} V_{1} = b_{0} \int_{λ_{i}}^{λ_{j}} F_{1} (λ) I_{b} (λ, T) d λ + b_{1} \int_{λ_{i}}^{λ_{j}} F_{1} (λ) I_{b} (λ, T) λ d λ \\ V_{2} = b_{0} \int_{λ_{i}}^{λ_{j}} F_{2} (λ) I_{b} (λ, T) d λ + b_{1} \int_{λ_{i}}^{λ_{j}} F_{2} (λ) I_{b} (λ, T) λ d λ \end{array}$ (16)

积分面积相同时, 捕捉到的测温波长可以用实际发射率与仪器发射率的交点表示, 见式(17)

$\overset{7}{\sum_{i=0}} a_{i} λ^{i} - (b_{0} + b_{1} λ) = 0$ (17)

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	图5 “ 谱色函数” (a)与波长分辨函数(b)Fig.5 “ spectral color function” (a) and wavelength resolution function (b)

计算得到的测量温度T_P和线性仪器发射率相关系数结果如表3所示。表4为可见光波段内发射率的7阶多项式拟合数据, 拟合曲线R²> 0.99, 将其作为金属钨的实际发射率曲线。式(17)的多项式波长解如图6所示。

表3 不同温度下金属钨测温结果 Table 3 Temperature measurement results of metal tungsten at different temperatures

表4 不同温度下金属钨发射率多项式拟合结果(0.38~0.78 μ m) Table 4 Polynomial fitting results of metal tungsten emissivity at diffesent temperatures (0.38~0.78 μ m)

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	图6 不同温度下仪器发射率捕捉到的测温波长Fig.6 Temperature measurement wavelengths captured by the emissivity of the instrument at different temperatures

计算结果表明: 不同温度下金属钨的测量温度相对误差在0.15%以内, 误差主要来源于积分函数Lobatto方法近似和温度数据库内插法求值产生的计算误差。基本可以认为测温仪器实现了金属钨的真实温度测量。图6中各温度下仪器发射率与钨发射率存在多个交点, 其中在2 400 K时, 0.567~0.718 μ m之间存在高度重合区域。因此在可见光波段内, 采用波段积分和“ 谱色函数” 保证了仪器发射率与金属钨发射率存在多项式波长解, 在各温度下始终能“ 捕捉” 到测温所需的波长。模拟计算证实了该测温方法的可行性和准确性, 通过“ 数值相等” 的点可以实现真实温度的测量。

4 结论

多波长测温法揭示出需要采用波长封闭求解物体辐射方程中的温度, 其关键是准确确定被测物体发射率函数形式。只有当物体发射率已知时(N确定), 采用(N+2)个任意波长可以实现真实温度测量; 当被测物体发射率未知时(N不确定), 无法准确测量真实温度。

引入测量概念后, 发现采用仪器发射率与物体发射率的交点波长可测量出真实温度, 这是辐射测温的一大突破。采用波段积分不仅可消除物体辐射二元函数(λ , T)带来的波长对测温的影响, 而且其提供的中值波长恰好等值于交点波长, 实现物体真实温度的测量。

将真实温度作为待定参数之一的辐射测温方程, 其待定参数个数会因为函数表述方式不同而有较大差异。广义模型表述中, 待定参数个数为“ 3” , 以此参数个数即可解决真实温度测量, 是辐射测温的另一进步。

参考文献

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