由于显著度是指某点或某区域不同于其周围的程度, 因此原始数据在不同尺度下的显著度H(x, r)计算如式(1)

H(x, r)=I(x)-[I(x-r)+I(x+r)]2信号为正信号[I(x-r)+I(x+r)]2+I(x)信号为负信号(1)

式(1)中, I(x)为原始检测数据, r为I(x)的平移量, 同时也代表显著度尺度, x为原始数据的横坐标, 不同的r产生不同尺度的显著度信号, 所有尺度的显著度信号构成I(x)的显著度空间。 其中正信号是指信号幅值大于所对应基线的信号, 例如Raman信号、 NMR信号; 负信号是指信号幅值小于所对应基线的信号, 例如气体吸收信号。

为方便理解, 也可以令

BI(x, r)=[I(x-r)+I(x+r)]2(2)

此时B_I(x, r)可看作I(x)的尺度为r的背景信号, 所有尺度的背景信号构成I(x)的背景空间。

图1各子图中的黑色实线为理论光谱, 其余不同颜色的实线及黑色虚线为在不同尺度下的显著度。 当信号为理想信号时(基线无非线性畸变, 信号中无噪声), 由图1可以看出, 信号区域上的各点在显著度空间中, 一定有大于0的点与之对应, 并且绝不会出现小于0的情况; 而非信号区域上的各点在显著度空间中, 只能等于0或小于0。 因此, 检测显著度空间中大于0的点, 并对其进行合并, 即可检测到信号区域。

图1

Fig.1

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	图1 理想信号及基线存在线性畸变时的信号及其显著度空间示意 (a): 理想正信号; (b): 理想负信号; (c): 基线存在线性畸变的正信号; (d): 基线存在线性畸变的负信号Fig.1 The signal in ideal or the baseline having linear distortion and spatial representation of saliency (a): Ideal positive signal; (b): Ideal negative signal; (c): Positive signal with linear distortion in the baseline; (d): Negative signal with linear distortion in the baseline

当基线存在非线性畸变时, 显著度特性会有一定的变化, 如图2(a)所示, 当显著度尺度较大时, 不仅信号区域会出现大于0的点, 在非信号区域也会出现大于0的点。 但是其特点不同, 主要体现在以下三点: (1)信号区域大小随着尺度增大而基本收敛, 其最大值为2倍的尺度大小; (2)信号区域显著度值随着尺度增大而基本收敛。 而基线存在非线性畸变引起的大于0的区域不一定随尺度减小而收敛且显著度值也不一定随尺度增大而收敛, 这是由于受基线非线性形状的影响。 (3)若误将非线性畸变中的一段曲线当作信号(伪信号), 则拟合基线与伪信号将非常相似, 而真正的信号区域与基线并不一致, 信号区域的拟合基线与信号相差较大, 其差约为显著度。

图2

Fig.2

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	图2 基线存在非线性畸变时的信号及其显著度空间示意 (a): 正信号及其显著度空间; (b): 负信号及其显著度空间Fig.2 The signal of baseline having linear distortion and spatial representation of saliency (a): Positive signal and its saliency space; (b): Negative signal and its saliency space

因此可以认为满足以下三个特征的信号为真实信号:

Feature 1

H(x, r)> 0(3)

Feature 2: 设连续大于0的检测区域的数据个数为N_ct, N_ct需满足式(4)

Nct≤2×r(4)

Feature 3: 设原信号区域为D_st(x, r), 用二次多项式拟合得到的对应区域的基线为B_st(x, r), 则应满足式(5)—式(7)。

Ncs> Nct2(5)

其中, N_cs为所判断区域可能为信号点的数据点个数, 其定义如式(6)所示

Ncs=∑i=1NctΔ|Dst(x, r)-Bst(x, r)|Hst(xi, r)(6)

其中, x_i为各个候选信号点的横坐标, i为各个候选信号点在候选信号区域的索引值。

关于运算符△运算规则如式(7)

Δ(y)=0当y< 23Δ(y)=1当y≥23(7)

即若某尺度下某区域同时满足式(3)—式(7), 才认为其为信号区域。 由于式(5)—式(7)可适当消除尺度过大的影响, 因此该算法对尺度范围r和尺度间隔△r两者的设置都不敏感。

图3显示了信号检测过程, 黑色直线代表原始光谱, 不同颜色的彩色直线和黑色虚线代表在不同尺度范围下的信号检测结果, 绿色加号代表满足Feature 1和Feature 2的区域, 红色圆圈代表满足Feature 1, Feature 2和Feature 3的区域。 从图中可见, 通过式(3)—式(7)可以很好的将信号区域检测出来。

图3

Fig.3

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	图3 信号检测过程Fig.3 The process of signal detection

上述分析[式(3)—式(7)]均未考虑噪声影响。 而实际数据中总是不可避免的存在噪声, 式(5)—式(7)本身就是统计特征, 具有一定的抗噪声能力, 为了降低噪声的影响, 只对式(3)进行改进。 首先如式(8)所示统计相邻数据点之间的显著度差值均方值, 然后将式(3)用式(9)替代。

μr=1Nh-1∑i=1Nh[H(x, r)-H(xi-1, r)]2(8)

H(x, r)≥kμr(9)

其中, N_h为数据总个数, k为比例系数。 k越大, 其抗干扰能力越强, 但是也容易丢失小信号。 如果噪声为零均值高斯噪声, 根据3σ 原则, 当信噪比大于16(SNR=20log VsVn, 其中V_s为信号幅值, V_n为噪声幅值), 信号强度大于6μ_r, k=3时, 误判率和漏判率均小于0.5%。

若想将信号提取出来, 不仅需要知道各个信号区域, 还需要知道各信号区域所对应的基线。 当各信号区域已知时, 只需对其两侧一定范围内的邻域数据进行二次多项式拟合即可得到该信号区域所对应的基线B_s。 与对整体数据进行基线拟合相比, 这种局部二次多项式拟合基线不仅实时性较好, 最重要的是提高了基线拟合的准确性。 设各信号区域所对应的原始数据为D_s, 则最终提取的信号S可由式(10)得到。

S=Ds-Bs信号为正信号Bs-Ds信号为负信号(10)

因此最终的信号提取算法为:

(1)利用式(1)计算信号在各尺度的显著度;

(2)利用式(8)计算显著度差值均方值;

(3)利用式(9)和式(4)获取候选信号点;

(4)对候选信号点进行合并得到信号区域;

(5)利用二次多项式拟合得到信号区域的基线;

(6)利用式(5)—式(7)去除伪信号区域;

(7)利用式(10)提取信号。

图4所示为含噪声且基线存在非线性畸变时某次实验的提取结果。 在图4中, 绿色实线为理论信号, 黑色实线为理论信号叠加非线性畸变和噪声得到的仿真光谱, 红色实线为用本文算法提取的信号, 从图中可以看出在含噪声且基线存在非线性畸变时提取出的信号和理论信号很接近。

图4

Fig.4

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	图4 含噪声且基线存在非线性畸变时的信号提取Fig.4 Signal extraction with noise and the baseline in nonlinear distortion

图5显示了矩形信号(信号1)和高斯信号(信号2)在不同基线畸变类型、 不同信噪比下各进行100次实验时的信号提取结果。 如图5(a)所示, 使用五角星、 圆圈、 方块、 三角形以及星花分别表示在基线畸变为指数型、 高斯型、 二次多项式型、 sin函数型以及线型下对信号的提取结果; 红色实线代表SSD算法对信号1的提取结果, 蓝色实线代表SSD算法对信号2的提取结果。 图5(a)为信号1和信号2在不同基线畸变、 不同信噪比下的绝对误差均值的均值, 该值的大小表征了实验结果的准确度; 图5(b)为信号1和信号2在不同基线畸变、 不同信噪比下的绝对误差的均方根值, 该值的大小表征了实验结果的稳定性; 图5(c)为信号1和信号2在不同基线畸变、 不同信噪比下的均方根误差值的均值, 该值大小表征了信号提取结果的离散度; 图5(d)为信号1和信号2在不同基线畸变、 不同信噪比下的均方根误差值的均方根值, 该值大小则是该信号区域提取结果稳定性的另一种表达。

图5

Fig.5

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图5 不同信噪比、 不同基线、 不同信号100次实验的信号提取结果 (a): 信号提取结果的绝对误差的均值; (b): 信号提取结果的绝对误差的均方根值; (c): 信号提取结果的均方根误差的均值; (d): 信号提取结果的均方根误差的均方根Fig.5 Results of signal extraction from 100 experiments with different signal-to-noise ratios, different baselines, and different signals (a): The mean value of the absolute error of the signal extraction result; (b): The root mean square value of the absolute error of the signal extraction result; (c): The mean value of the root mean square error of the signal extraction results; (d): The mean square root of the mean square error of the signal extraction results

从图5(a)可以看出SSD总体提取结果的绝对误差的均值并不大, 在基线畸变为sin型下对信号1提取结果的绝对误差的均值最大, 但其值仍小于0.015, 说明SSD算法对信号提取的准确度较高。 从图5中也可以看出, 当信噪比小于40时, SSD算法的准确度、 稳定性和离散度变化较为明显, 在信噪比大于40之后, 基本不再受信噪比的影响, 且在不同的基线畸变类型下同样符合上述规律。 同时, 从图5中可以看出SSD算法受基线畸变类型的影响较小。 其中, 当基线畸变类型为线型和二次多项式型时, 算法的稳定性和离散度更好。 经计算, SSD算法对信号1和信号2提取结果的综合绝对误差的均值的绝对值分别为0.004 4和0.004 6, 对信号1和信号2的综合绝对误差的均方根的绝对值都为0.002 9, 可见SSD算法对信号提取的稳定性和准确度基本不受信号类型的影响。 在信噪比为20的情况下, SSD算法的准确度和稳定性受到影响最大的主要原因是基线拟合受噪声影响较大, 从而影响所提取的信号幅值。

图6显示SSD算法、 AirPLS算法、 Wavelet算法以及DoG算法在不同信噪比、 不同基线畸变类型下某次信号提取的实验结果, 从图中可以看出SSD算法既可以准确的检测出信号范围也可以对光谱进行校正。 DoG算法虽然可以检测信号范围, 但是该范围并不准确, 这主要是因为DoG检测受尺度的影响, 当尺度较大时, 部分非线性畸变区域会被当作信号区域检测出来。 而AirPLS, Wavelet算法只是对光谱进行校正, 并没有检测信号范围, 如果再用3σ 原则或者其他算法对校正光谱进行信号检测, 则可能会在检测时引起附加误差, 从而降低信号提取评价标准的可信度。 为尽量避免附加误差, 本文在计算误差时, 认为所有的信号点都可以被检测出来, 从而在整个理论信号范围内用校正的光谱强度与理论强度直接相减得到各点的误差值, 对这些误差值再求均值和均方根值。

图6

Fig.6

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	图6 不同提取算法的提取效果比较Fig.6 Comparison of extraction effects of different extraction algorithms

图7显示了在不同信噪比、 不同基线畸变类型对不同信号的提取结果统计, 图中不同颜色的直线分别指不同的提取算法, 不同形状的点则代表提取信号时的基线类型, Exponential、 Gaussian、 Line、 Quadratic、 Sin分别为指数型基线、 高斯型基线、 线型基线、 二次函数型基线、 Sin型基线。 图7(a)和(c)中各个点代表了对两种信号进行100次实验得到的绝对误差的均值, 该值的大小表征了算法提取结果的准确度; 图7(b)和(d)中各点代表了对两种信号进行100次实验得到的绝对误差均值的均方根, 该值的大小体现了算法提取结果的稳定性。

图7

Fig.7

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图7 不同算法在不同信噪比、 不同基线畸变类型下对不同信号的提取结果统计 (a): 信号1提取结果的绝对误差的均值; (b): 信号1提取结果的绝对误差的均方根值; (c): 信号2提取结果的绝对误差的均值; (d): 信号2提取结果的绝对误差的均方根值Fig.7 The extraction results of different algorithms to different signals under different signal-to-noise ratios and different baseline types (a): The mean value of absolute error of signal 1 extraction result; (b): The root mean square value of the absolute error of the signal 1 extraction result; (c): The mean value of absolute error of signal 2 extraction result; (d): The root mean square value of the absolute error of the signal 2 extraction result

从图7(a)—(d)可以看出, (1)SSD算法、 AirPLS算法以及Wavelet算法信号提取结果的绝对误差的均值几乎不受信噪比的影响, 说明这三种算法的准确度受信噪比的影响较小; (2)在不同的信噪比下, 与其他算法相比, SSD算法对矩形信号和高斯信号两种信号的提取结果的绝对误差的均值都比较小, 说明SSD算法有较高的准确度; (3)SSD算法的绝对误差均值的均方根也明显较小, 说明其也有较好的稳定性。

与他它算法相比, SSD算法提取信号的准确度和稳定性均较好, 且基本不受基线畸变类型和信号类型的影响; AirPLS算法在基线畸变类型为高斯型、 二次多项式型以及sin型时对两种信号的提取结果和SSD算法提取结果最相近, Wavelet算法只有在基线畸变为高斯型时对信号2的提取结果的准确度以及稳定性和SSD算法相近。

表1综合了所有情况下四种算法的提取结果。 可见, SSD算法提取结果的绝对误差的均值仅为AirPLS算法的8.71%、 Wavelet算法的3.52%、 DoG算法的2.01%; 绝对误差的均方根也仅为AirPLS算法的13.08%、 Wavelet算法的5.45%、 DoG算法的3.11%。 无论是图7还是表1都表明, SSD算法在提取信号时具有良好的性能。

表1

Table 1

表1(Table 1)

表1 不同算法的综合提取效果 Table 1 Comprehensive extraction effect of different algorithms SSD AirPLS Wavelet DoG 绝对误差的均值 0.002 9 0.033 3 0.082 4 0.139 7 绝对误差的均方根 0.004 5 0.034 4 0.082 6 0.144 7

表1 不同算法的综合提取效果 Table 1 Comprehensive extraction effect of different algorithms