光谱数据是天体物理学研究的基础和证认依据, 我国国家天文台运行着大天区多目标光纤光谱望远镜(LAMOST)截止到2018年7月, LAMOST已经积累了六年的巡天数据(http://dr5.lamost.org/), DR5数据集共获得9 017 844个光谱。 LAMOST巡天光谱数据按MK分类标准系统进行光谱型分类, 波长覆盖范围从3 690~9 100 Å , 步长为1 Å (总采样点数N=5 491), 分辨率为1 800, 在用模板光谱来自约100万条的大量先导巡天实测恒星光谱数据。

LAMOST发布DR5数据v1版中A型恒星提供的光度类型比DR1目录中包含了更多的线指数信息, DR5星表中共计439 914条A型光谱, 其中86 097条光谱数据具备T_eff值, 如图1所示经箱线图呈现大样本之间的不同, 反映线指数统计量整体分布, 从26种线指数特征值中选取分布相似, 且带宽为12 Å 的kp12, halpha12和hgamma12字段, 减少解释变量的数目, 增加方差膨胀因子(VIF)系数, 在第3.1节分析VIF冗余变量获得更好的预测效果。 后文实验选取信噪比S/N大于50, 且温度在7 000~8 500 K范围的A型恒星数据线性拟合分析恒星大气物理参数的有效温度值。

图1

Fig.1

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	图1 A型恒星线指数26种特征值分析箱线图Fig.1 Boxplot analysis of 26 eigenvalues of A-type stellar line index

LAMOST发布的观测光谱都已经过标记, 先前研究所构建的回归模型大部分都是假定自变量和因变量之间呈线性关系^[7], 对于任何回归问题的预测因子都可能产生自相关, 虽然并不影响回归使用的有效性, 但很难或者不可能从回归方程中得到独立预测因子的评估系数。 后文提出的方案包括以下步骤: 首先, 利用天文可视化工具对LAMOST线指数数据统计分析; 其次, 用Lick线指数对T_eff测量进行多元线性回归; 最后, 采用岭回归寻找最佳模型, 得到多元线性回归训练预测的模型。 结果表明多元线性回归和岭回归算法都能准确地从低分辨率光谱中确定A型恒星的有效温度。

多重共线性分析可定量解释模型中包含的多个变量函数, 基于A型恒星参数建立的回归模型能够有效预测T_eff数据特征之间相关方法, 与典型线性回归不同, 使用多重线性回归来实现分析Lick线指数与T_eff之间的关系, 特别是连续光谱中存在着校准和消光等较多的不确定性因素, 后文运用预测方法有效地利用谱线指数从天文光谱中提取T_eff特征。 多元线性回归方程模型如式(1)所示

Teff, i=β0+β1Xi, 1+β2Xi, 2+…+βpXi, p+εi(1)

式(1)中, i=1, 2, …, N; 回归误差ε _i; 方差σ ²; 预测因素的数量级为p; 每个独立变量的值X_ip; N是测试数据N(0, σ ²), 满足E(ε _i)=0和Var(ε _i|X) =σ ², 预测因子系数β ₁, …, β _p-1, β _p常数项β ₀是估计与最小二乘方法。 利用拟合函数能执行完整的线性模型分析, 输出值与最小二乘估计β ₁和β ₀值如式(2)所示。

S(β)=∑i=1n(Teff, i-β0-β1Xi1-β2Xi2-…-βpXi2p)2=‖Teff-χα‖2(2)

依据1.1节分析结果, 当LAMOST观测样本量较大, 所绘制数据点非常集中时, 很多数据点重合叠加, 不利于直观展示数据的局部规律和趋势以及线指数特征值之间的相关性特征, 本文实验选取相应比例的局部数据集拟合回归。 实验将观测数据两两变量间以散点呈现在二维平面的数据点分布, 如图2— 图4所示被分析量恒星有效温度T_eff与线指数之间相关关系。 实验中用模型回归线与观测数据的拟合程度来表示因变量与所有自变量之间的总体关系, 经函数拟合回归曲线如图2(a)、 图3(a)和图4(a)数据点重叠集中, 分别包含蓝色线、 绿色线和红色线显示线性回归趋势。 由于数据点的重叠使得因变量和自变量之间的关系难以识别, 不利于直观地显示观察变量之间的相关特征, 同样的数据源使用统计透明性如图2(b)、 图3(b)和图4(b)所示任意坐标上重叠点的数量, 使用散点图的总体轮廓生成高密度散点图, 利用色差突出显示数据密集区域, 将不同Counts数据点分箱, 用灰度深浅表示箱中数据点的个数, 明晰散点图的整体轮廓, 数据的散点映射表示核密度估计。 该函数自动在一定范围内设置数据点, 显示数据点被划分成几个框, 灰色的数据用来表示框中数据点的数量。

图2

Fig.2

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	图2 A型恒星有效温度Teff与kp12线指数分析 (a): 线性回归散点图(蓝色); (b): 高密度散点图Fig.2 A-type stellar effective temperature Teff and kp12 line indices (a): Scatter plot with linear regression (in blue); (b): High density scatter plot

图3

Fig.3

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	图3 A型恒星有效温度Teff与hdelta12线指数分析 (a): 线性回归散点图(绿色); (b): 高密度散点图Fig.3 A-type stellar effective temperature Teffand hdelta12 line indices (a): Scatter plot with linear regression (in green); (b): High density scatter plot

图4

Fig.4

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	图4 A型恒星有效温度Teff与hgamma12线指数分析 (a): 线性回归散点图(红色); (b): 高密度散点图Fig.4 A-type stellar effective temperature Teffand hgamma12 line indices (a): Scatter plot with linear regression (in red); (b): High density scatter plot

从图2— 图4中散点分布趋势显示T_eff与kp12, hdelta12和hgamma12变量之间的负线性相关性是非常明显的, 如表1所示两两变量间所得到协方差矩阵为对称矩阵, 表中计算各列的方差值, 其中以主对角线为对称轴对应相等的矩阵, 列出的运行结果可得因变量可变性的百分比, 后续章节利用回归方程误差度量线性模型反映拟合程度真实关系, 后文岭回归预测模型中协同因子是最关键的相关关系。

表1

Table 1

表1(Table 1)

表1 线指数特征值与Teff参数线性相关系数值 Table 1 Linear correlation coefficient between line index eigenvalues and Teff 相关系数 Teff kp12 hdelta12 hgamma12 Teff 1.000 0.743 0.954 0.936 kp12 0.743 1.000 -0.633 -0.601 hdelta12 0.954 -0.633 1.000 0.981 hgamma12 0.936 -0.601 0.981 1.000

表1 线指数特征值与Teff参数线性相关系数值 Table 1 Linear correlation coefficient between line index eigenvalues and Teff

结合上节提及的共线性问题是多个线指数的特征值变量给出相似的分析, LAMOST数据绘制散点图呈现所有变量的散点图表示响应变量与解释变量之间的关系相关性, 利用方差膨胀因子VIF确定解释变量的共线性程度。 实验利用多线性共同标准方差膨胀因子VIF=1/(1- rj2), 其中 rj2表示多个其他相关变量的回归系数, 线指数通过X_j变量计算VIF, 得到hgamma12的VIF值为3.288 479× 10⁶远远超过VIF的最大限度影响因子 rj2> 0.9, 故存在多重共线性, 多线性分析会影响估计量的准确性。 依据存在非线性的因素, 建立多线性回归模型变量的相关系数, 得到与有效温度相关的皮尔森相关系数矩阵, 建立模型残差为1.213, 调整可决系数为0.993, 优化模型线指数特征值结果。 如式(3)表述线性组合在两组随机变量X'X中选取若干个相关关系的指标, 表示原来的两组变量的综合关系。 后文实验采用岭回归估计在变量X'X中增加正常矩阵kI(k> 0), 则X'X+kI更接近真实的回归值, 符合参数k值如图5所示, 正规方程最优解时当k→ 0时 β^(0)得到原来的最小二乘估计, 训练线性回归模型为式(3)。

β^(k)=(X'X+kI)-1X'y(3)

图5

Fig.5

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	图5 A型恒星线指数系数线性回归估计分析图Fig.5 Linear regression analysis diagram of A-type star line exponential coefficient

从上文得到线指数值实现多元线性回归时系数矩阵与其转置矩阵相乘得到的矩阵不能求逆, 且方差较大使得光谱特征变量间存在共线性造成最小二乘回归不稳定。 为此本节通过Ridge岭回归解决最小二乘法的无偏性, 没有抛弃任何特征缩小回归系数获得可靠的回归系数预测大气有效温度参数预测模型teff=12 770+β ₁kp12+…+β ₂₆hdelta_d02式中β 系数值, 如表2列出各特征显示模型准确地从低分辨率光谱中确定A型恒星的有效温度。

表2

Table 2

表2(Table 2)

表2 岭回归模型线指数特征值与Teff参数线性相关系数值 Table 2 Line index characteristic value and Teffparameter linear correlation value with ridge regression model 特征值 系数β 特征值 系数β kp12 -2.981× 107 hdelta12 1.506× 108 kp18 8.222× 106 hdelta24 -3.067× 107 kp6 3.503× 107 hdelta48 -1.167× 108 hbeta12 -4.225× 108 hdelta64 4.939× 107 hbeta24 3.096× 108 hgamma12 2.523× 108 hbeta48 -5.391× 107 hgamma24 -1.186× 107 hbeta60 2.567× 107 hgamma48 -6.411× 108 halpha12 -1.239× 108 hgamma54 5.244× 108 halpha24 2.038× 108 paschen13 9.443× 105 halpha48 -3.923× 108 paschen142 -6.710× 106 halpha70 2.888× 108 paschen242 -2.306× 107 halpha_d02 2.529× 104 hgamma_d02 -4.984× 103 hbeta_d02 -2.138× 104 hdelta_d02 3.635× 106

表2 岭回归模型线指数特征值与Teff参数线性相关系数值 Table 2 Line index characteristic value and Teffparameter linear correlation value with ridge regression model

当变量间存在共线性且方差很大, 得到不稳定的最小二乘回归系数。 为此系数矩阵X与其转置矩阵相乘得到的矩阵不能求得其逆矩阵, 实验通过ridge regression函数引入参数lambda, 解决上述问题, 利用第1.1节中列出26种特征值选择岭回归参数k, 从优化模型运行结果得岭回归参数值为0.014 7, 各自变量的系数显著明显提高, 岭回归模型的lambda值代入线性回归模型, 得到T_eff有偏的估计, 也可采用优化广义交叉验证GCV方法自动选取得到最佳岭回归的参数k值如图6所示, 经岭回归计算变量的相关性分析, 合理简化LAMOST发布的线指数变量值, 输入由该组变量的数值预测有效温度以增强预测模型的可信度。

图6

Fig.6

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	图6 A型恒星有效温度Teff与26种线指数特征值岭回归分析图, 修正后的估计值HKB为1.921 567× 10-5和L-W为330.336 5Fig.6 Ridge regression analysis chart of Teff and 26 kinds of eigen values with the line index of A-type stars, which modified HKB estimator was 1.921 567× 10-5 and modified L-W estimator was 330.336 5