按照定义来计算非球形粒子的散相函数时常采用T矩阵法。 T矩阵法是基于麦克斯韦方程得到的计算非球形粒子散射特性的重要方法, 目前主要用于计算椭球型、 有限长圆柱形等旋转对称粒子的散射特征^[9]。 T矩阵实质上是电磁波入射场与散射场之间的一个传输矩阵, 它与粒子的复折射率、 尺寸等固有特性有关, 而与电磁波的入射场和散射场无关。 旋转对称粒子的散射特性可以通过无量纲斯托克斯散射矩阵表示^[9]

F(θ)=a1(θ)b1(θ)00b1(θ)a2(θ)0000a3(θ)b2(θ)00-b2(θ)a4(θ)(1)

其中θ 是入射光线与散射光线之间的夹角, 即散射角。 散射矩阵的八个矩阵元中, 有六个是相互独立的, 其中矩阵元a₁(θ )是散射相函数, 它满足归一化条件^[10]

12∫0πdθa1(θ)sinθ=1(2)

按照散射相函数的定义模拟粒子的散射特性, 可保证计算精度, 但缺点是计算时间长、 效率低; 为了减小计算时间、 提高效率, 常使用简化的经验模型^[6]。

1.2.1 H-G相函数

使用理论方法计算散射相函数的过程比较复杂, 为了计算方便, 常用表达形式简单、 数值计算方便的H-G相函数来替代^[2]

pHG(θ, g)=1-g2(1+g2-2gcosθ)3/2(3)

其中θ 是散射角, g是不对称因子。 H-G相函数可以较好模拟球形粒子前向散射峰, 但是不能正确模拟后向散射, 且当g→ 0时, 该相函数不能还原成瑞利散射相函数

pR(θ)=34(1+cos2θ)(4)

1.2.2 双H-G相函数

为了克服H-G相函数不能正确模拟后向散射这个缺陷, Cornette和Kattawer^[2]提出使用双H-G相函数(DH-G相函数)来近似

pDHG(θ, f, g1, g2)=(1-f)pHG(θ, g1)+fpHG(θ, g2)g1> 0, g2< 0(5)

DHG相函数虽然可以较好地体现球形粒子的散射特征, 但是解析式是由三个参数确定的: f是一个正的参数; g₁是正值, 表示前向散射部分; g₂是负值, 表示后向散射部分, 使用起来比较复杂, 不适合实际应用。 当g→ 0时, 为了将双H-G相函数还原成瑞利散射相函数, 前向散射峰和后向散射峰需要相等, 即g₁=-g₂, 且f= 12, 但此时两者之间仍不能很好的吻合, 最小均方根误差为0.15^[2]。 且H-G相函数、 DH-G相函数只适用于粒子的尺寸参数不是太小的情况。

1.2.3 H-G^* 相函数

为了能很好的模拟后向散射问题, Cornette和Shanks利用Rayleigh相函数与H-G相函数推导出了改进的H-G相函数, 即H-G^* 相函数^[2]

p(θ, g)=321-g22+g21+cos2θ(1+g2-2gcosθ)3/2(6)

对于球形粒子来说, 该相函数在一定程度上弥补了H-G相函数和DH-G相函数的不足, 且只有一个自由参数g, 在g→ 0时, 与瑞利散射相函数吻合; 当g→ 1时, 近似于H-G相函数。

1.2.4 新提出的相函数经验公式

H-G^* 相函数和H-G相函数既不能很好的拟合非球形粒子散射的后向散射特征, 也不能拟合相函数的振荡^[9]。 为了能够很好的模拟非球形粒子的后向散射特征, 对H-G相函数解析式与瑞利散射相函数解析式按照不对称因子进行修正。 将新的相函数数表示成H-G相函数和瑞利相函数以及不对称因子的多项式的和, 其中H-G相函数和瑞利相函数的系数是不对称因子g的多项式。 要求在角度大于90° 时, 增大后向散射峰值, 且在g→ 0时, 新的相函数与瑞利散射相函数吻合; 当g→ 1时, 新的相函数近似于H-G相函数。 基于这些考虑, 改进散射相函数为(RH-G)

pRHG(θ, g)=(1-g2)(1+g2-2gcosθ)3/2+3(1-g)4(1+cos2θ)+(g-1)(7)

该相函数在一定程度上增大了后向散射峰, 解析式形式简单, 只有一个自由参数。

大气中气溶胶和云的强散射主要发生在短波波段, 且由于我国西北沙尘的传输与粉尘的飘移, 导致我国绝大部分地区的气溶胶类型以沙尘为主^[12], 因此以沙尘性粒子为例, 取波长为0.633 μ m, 气溶胶粒子等效体积半径为r_v=1 μ m, 复折射率为m=1.52-0.08i^[12]。 非球形粒子以椭球形粒子和有限长圆柱形粒子为例, 图1中给出了椭球形粒子的长短轴比(a/b)和有限长圆柱形粒子的径长比(D/L)为0.6, 0.8, 1.5和2.0时, H-G^* 相函数、 RH-G相函数和T矩阵法计算的相函数随角度的变化。

图1

Fig.1

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	图1 沙尘性气溶胶粒子散射相函数(a)椭球形(b)有限长圆柱体Fig.1 Scattering phase functions of dustlike aerosol particles (a) ellipsoidal (b) finite length cylinder

由图1可知, (1)H-G^* 相函数、 RH-G相函数和T矩阵方法一样, 都可以描述非球形粒子散射相函数随角度的变化趋势: 前向散射主瓣区集中了大部分散射能量, 后向散射次之, 侧向散射最弱; 随着a/b和D/L的变化, 粒子的散射能量随角度的变化在前向散射部分比较接近, 而在大角度后向散射部分差异比较明显; (2)a/b和D/L从0.6变化到2.0的过程中, RH-G相函数与T矩阵法计算的相函数的吻合程度高于H-G^* 相函数。 说明RH-G相函数增大后向散射峰值是合理的, 且相对于H-G^* 相函数来说, RH-G相函数在描述椭球形粒子和有限长圆柱形粒子散射特性上具有一定的优势。

为了进一步说明RH-G相函数提高大角度后向散射的合理性, 及在描述非球形粒子后向散射上的优势, 比较了H-G^* 相函数、 RH-G相函数与T矩阵法在角度大于90° 时的均方根差值。 对比时, 角度间隔为5° , 均方根差值表示为

∑θ=90, 180[px(θ)-pi(θ)]/19(8)

式中, p_x(θ )是散射角θ 处不同相函数经验公式的计算值, p_i(θ )是相同角下T矩阵法的计算值。 H-G^* 相函数、 RH-G相函数与T矩阵法得到的相函数的均方根误差如图2所示, 其中椭球形粒子的长短轴比(a/b)和有限长圆柱形粒子的径长比(D/L)为0.3~3.0, 间隔为0.1。

图2

Fig.2

	Figure Option ViewDownloadNew Window
	图2 H-G* 相函数、 RH-G相函数与T矩阵法的均方根误差比较(a)椭球形(b)有限长圆柱体Fig.2 Comparisons of the RMSE between the RH-G phase function, the H-G* phase function and the T-matrix method (a)ellipsoidal (b) finite length cylinder

由图2可知, 在a/b和D/L小于0.5时, RH-G相函数的均方根差大于H-G^* 相函数, 说明此时H-G^* 相函数与T矩阵法的吻合程度较高, 这是由于在小于0.5时, 粒子的后向散射不明显, 而RH-G相函数提高了后向散射部分, 所RH-G相函数会出现较大的均方根差。

在a/b和D/L大于0.5时, 随着a/b和D/L的增大, 均方根差有先增大后减小的趋势, 当a/b=1.5和D/L=1.5时, 均方根误差最大。 之所以出现这样的变化是因为: 在a/b和D/L小于1.0时, 随着a/b和D/L的增大, 非球形粒子逐渐接近于球形, 真实相函数的振荡会进一步加剧, 振荡峰的数目增多, 振荡幅度明显增大, RH-G相函数和H-G^* 相函数比较平滑, 所以RH-G和H-G^* 相函数与T矩阵法之间的均方根差也逐渐增大; 当a/b=1.5和D/L=1.5时, 真实相函数的振荡最厉害, 与相函数解析式的误差最大, 所以出现误差峰值, 波峰两侧呈现小幅度的波动。 而且此时RH-G相函数的均方根误差小于H-G* 相函数, 说明此时非球形粒子的后向散射比较明显, RH-G相函数提高了后向散射能力, 与T矩阵法计算结果的吻合程度较高。

LAMAP在标准辐射大气模式中将平流层气溶胶粒子按照成分分成的4类气溶胶粒子(可溶性、 沙尘性、 海洋性和煤烟粒子), 对这四类气溶胶粒子进行计算, 气溶胶粒子尺寸谱分布符合对数正态分布, 其典型数据如表1^[7]所示; 波长、 等效体积半径和复折射率如表2^[10]所示, 其中椭球形粒子的长短轴比a/b=2, 有限长圆柱形粒子的径长比D/L=2, 选择霾粒子的典型尺寸r_min=0.01 μ m, r_max=1 μ m。 图3是不同波长下四种椭球形粒子的散射相函数随角度的变化; 图4是不同波长下四种有限长圆柱形粒子的散射相函数随角度的变化。

表1

Table 1

表1(Table 1)

表1 气溶胶粒子尺度分布 Table 1 Particle-size distributions 气溶胶类型 尺寸分布 可溶性气溶胶 对数正态(σ =1.095 27, rm=0.05 μ m) 沙尘性气溶胶 对数正态(σ =1.095 27, rm=0.05 μ m) 煤烟粒子 对数正态(σ =0.693 17, rm=0.011 8 μ m) 海洋性气溶胶 对数正态(σ =0.920 28, rm=0.3 μ m)

表1 气溶胶粒子尺度分布 Table 1 Particle-size distributions

表2

Table 2

表2(Table 2)

表2 气溶胶粒子的光学参数 Table 2 Particle optical properties 波长 折射率 可溶性气溶胶 沙尘性气溶胶 煤烟粒子 海洋性气溶胶 实部 虚部 实部 虚部 实部 虚部 实部 虚部 300.0 1.530 -8.00× 10-3 1.530 -8.00× 10-3 1.740 -4.70× 10-1 1.395 -5.83× 10-7 400.0 1.530 -5.00× 10-3 1.530 -8.00× 10-3 1.750 -4.60× 10-1 1.385 -9.90× 10-9 550.0 1.530 -6.00× 10-3 1.530 -8.00× 10-3 1.750 -4.40× 10-1 1.381 -4.26× 10-9 694.0 1.530 -7.00× 10-3 1.530 -8.00× 10-3 1.750 -4.30× 10-1 1.376 -5.04× 10-8

表2 气溶胶粒子的光学参数 Table 2 Particle optical properties

图3

Fig.3

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	图3 不同波长下四种椭球形粒子的散射相函数随角度的变化Fig.3 Scattering phase function of ellipsoid aerosol particle

图4

Fig.4

	Figure Option ViewDownloadNew Window
	图4 不同波长下四种有限长圆柱形粒子的散射相函数随角度的变化Fig.4 Scattering phase function of finite length cylinder aerosol particle

由图3和图4可知, (1)在波长较小时, 对于体积相同的不同形状的气溶胶粒子, 散射相函数的差别特别明显, 主要原因是不同形状的气溶胶粒子, 其与电磁波相互作用的结果不同, 不同形状气溶胶粒子的散射效率因子和不对称因子都不同, 且波长较小时, 粒子的散射光强度分布曲线呈现显著振荡, 这说明散射光强度并非是各向同性, 粒子形状将对散射产生明显影响。 而随着波长的逐渐增大, 前后向散射由振荡而趋于平滑, 且有趋于前后向对称分布的趋势。 这说明入射波长的增大, 由于粒子几何尺寸所带来的散射影响逐渐减小, 此时散射特征更多受粒子复折射率的影响。 (2)RH-G相函数、 H-G^* 相函数与T矩阵法都可以正确描述非球形粒子散射相函数随角度的变化趋势: 随着折射率实部的增加, 前向散射峰值逐渐增大; 随着折射率虚部的增加, 后向散射有减小的趋势。 这是由于粒子的前向散射以衍射为主, 主要受折射率实部影响, 随着折射率实部的增加, 前向散射逐渐增强; 随着折射率虚部的增加, 相同a/b和D/L下, 椭球形粒子和有限长圆柱形粒子的侧向和后向散射对应的振荡逐渐弱化并最终消失, 所以RH-G相函数与T矩阵法计算的相函数的大角度后向散射部分的吻合程度也越来越高。 (3)沙尘性气溶胶粒子和海洋性气溶胶粒子的侧向和后向散射比较明显, 这是由于沙尘性气溶胶粒子和海洋性气溶胶粒子的侧向和后向散射对形状畸变比较敏感, 而前向散射的敏感性较弱, 所以沙尘性气溶胶和海洋性气溶胶的侧向和后向散射比较明显; 可溶性气溶胶粒子和煤烟粒子的散射相函数变化比较平滑, 前后向散射较强, 侧向散射角弱, 散射能量分布近对称, 各向的散射强度均在一个量级上, 这与两种粒子的尺寸有关。 RH-G相函数和T矩阵法都可以很好的反映这种情况。

误差的计算方法和计算公式如3.2节所示。 表3是四种多分散系椭球形气溶胶粒子的不同相函数的均方根差, 表4是多分散系有限长圆柱形气溶胶粒子的不同相函数的均方根差。

表3

Table 3

表3(Table 3)

表3 多分散系椭球形气溶胶粒子不同相函数的均方根比较 Table 3 Comparisons of the RMSE between the RH-G phase function, the H-G* phase function and the T-matrix method of ellipsoidal aerosol particle 波长/nm RMSE 海洋性气溶胶 沙尘性气溶胶 煤烟气溶胶 可溶性气溶胶 H-G* RH-G H-G* RH-G H-G* RH-G H-G* RH-G 300 0.735 4 0.323 0 0.790 4 0.313 2 0.317 7 0.140 0 0.790 4 0.313 2 400 0.445 3 0.104 9 0.953 0 0.494 0 0.303 4 0.110 9 1.021 3 0.544 2 550 0.194 8 0.075 0 0.660 5 0.252 2 0.262 1 0.046 4 0.684 1 0.268 8 694 0.085 4 0.176 4 0.374 5 0.008 7 0.225 2 0.014 0 0.380 4 0.012 5

表3 多分散系椭球形气溶胶粒子不同相函数的均方根比较 Table 3 Comparisons of the RMSE between the RH-G phase function, the H-G* phase function and the T-matrix method of ellipsoidal aerosol particle

表4

Table 4

表4(Table 4)

表4 多分散系有限长圆柱形气溶胶粒子不同相函数的均方根比较 Table 4 Comparisons of the RMSE between the RH-G phase function, the H-G* phase function and the T-matrix method of finite length cylinder aerosol particle 波长/nm RMSE 海洋性气溶胶 沙尘性气溶胶 煤烟气溶胶 可溶性气溶胶 H-G* RH-G H-G* RH-G H-G* RH-G H-G* RH-G 300 0.656 8 0.251 8 0.921 8 0.490 0 0.340 8 0.161 4 0.921 8 0.490 0 400 0.403 3 0.055 7 0.906 0 0.473 8 0.329 8 0.136 7 0.962 7 0.516 0 550 0.210 1 0.058 6 0.738 6 0.308 1 0.295 3 0.079 8 0.768 3 0.330 8 694 0.708 8 0.183 7 0.422 2 0.055 3 0.253 4 0.015 0 0.428 9 0.060 0

表4 多分散系有限长圆柱形气溶胶粒子不同相函数的均方根比较 Table 4 Comparisons of the RMSE between the RH-G phase function, the H-G* phase function and the T-matrix method of finite length cylinder aerosol particle

随着波长的增大, RH-G相函数和H-G^* 相函数的均方根误总体来说有减小的趋势。 随着折射率虚部的增加, RH-G相函数与T矩阵法在大角度后向散射部分的均方根越来越小, 几种气溶胶粒子中, 煤烟粒子后向散射相函数的均方根误差最小。 这是由于随着折射率的增加, 光线越来越多的被吸收, 导致粒子的透射光含量越来越少, 椭球形粒子的侧向和后向散射相函数的差别逐渐变大, 但整体上趋于平滑, 此时RH-G相函数描述的大角度后向散射与T矩阵法的吻合程度也越来越高, 说明了RH-G相函数提高后向散射的必要性和合理性。

椭球形气溶胶粒子中RH-G相函数与T矩阵法的均方根差较小的占总数95%, 说明椭球形粒子中大部分情况下, RH-G相函数在大角度后向散射上与T矩阵法的吻合程度较好; 有限长圆柱形气溶胶粒子中, RH-G相函数与T矩阵法的均方根差值均小于H-G^* 相函数与T矩阵法的均方根差值, 即有限长圆柱形气溶胶粒子中, RH-G相函数在大角度后向散射上与T矩阵法的吻合程度较好。 以上结果说明, 用RH-G相函数来近似计算非球形粒子的散射相函数, 与实际情况的相函数差距较小。

0.649 μ m的海洋性气溶胶粒子中出现RH-G相函数后向散射的拟合效果比H-G^* 相函数差的原因是此时海洋性气溶胶粒子的尺度参数最接近1, 真实相函数的振荡最厉害, 而相函数解析式描述的相函数随角度的变化曲线比较平滑, 所以此时均方根最大。 随着波长的增大, H-G^* 相函数与RH-G相函数的相函数误差在减小, 原因是随着波长的增大, 粒子尺度对散射的影响逐渐减小。