在线性光谱混合模型中, 混合像元在某一波段的反射率是各个端元组分反射率的线性组合, 如式(1)所示

r(λi)=∑j=1mFjrj(λi)+ε(λi)(1)

式中, i=1, 2, …, n为光谱通道, j=1, 2, …, m为端元组分, F_j为各端元组分在混合物中的丰度, 为待求参数; r_j(λ _i)为在λ _i波长位置第j个端元的反射率; ε (λ _i)为第i个光谱通道的误差项^[12]。

线性混合光谱丰度反演就是已知端元光谱反射率和混合光谱反射率, 求解端元组分的丰度值。

1.2.1 全约束最小二乘法

全约束最小二乘法(full constrained least square, FCLS)是基于线性光谱混合模型的全波段光谱解混算法。 如果式(1)中组成混合像元的端元完整, 则F_j应该满足归一化约束条件

∑j=1mFj=1(2)

由于F_j代表端元组分的丰度, 所以应满足非负约束条件, 即

Fj≥0(3)

在这两个约束条件下才能保证混合像元分解所求的各端元的丰度值符合实际意义, 全约束最小二乘法就是在满足上面两个约束条件下, 利用全波段平差求解出一个端元丰度值使误差的平方和最小, 即 min[∑i=1nε(λi)2]^[11]。

1.2.2 比值导数解混算法

比值导数解混算法也是建立在线性光谱混合模型基础上的, 它可以仅利用单波段进行光谱解混, 并且比较不同波段的解混精度差异。 当混合物中仅包含两种端元组分, 且不考虑误差项时, 线性光谱混合模型可简化为

r(λi)=F1r1(λi)+F2r2(λi)（4）

将式(4)两侧同时除以其中一种端元的反射率, 然后两边再对λ 求导, 即可得到另一种端元的丰度值^[13]。 两种端元在任一波段的丰度值分别如式(5)和式(6)所示

F1=dr(λi)r2(λi)dλdr1(λi)r2(λi)dλ(5)

F2=dr(λi)r1(λi)dλdr2(λi)r1(λi)dλ(6)

1.2.3 精度评定

评价各个端元丰度反演的结果时, 采用均方根误差(root mean square error, RMSE)进行精度评定, 公式如下

RMSE=∑i=1n(c'i-ci)2n(7)

其中c'_i是采用某一波段反演出的某种端元的丰度, c_i是该端元在各混合物中的实际丰度, n是指混合物的组数^[13]。

均方根误差RMSE数值越接近于0, 表明端元丰度反演的误差越小, 精度越高; 反之, 均方根误差RMSE数值越大, 表明反演的误差越大, 精度越低。

实验选取中国古画典型的矿物颜料组合— — 石青、 石绿两种颜料, 选用粒度大小相同(型号均为4号)的石青、 石绿颜料粉末。 首先测得4号石青、 石绿粉末各自的密度, 然后按照七组不同的体积比例配比两种颜料, 如表1所示, 每组颜料样本总体积一定, 根据体积比例计算出两种颜料各自的体积, 根据两种颜料的密度计算出各自的质量, 再用千分位精密电子天平精确称取所需的颜料粉末。 将经过精确配比的每组颜料混合均匀得到七组颜料样本, 其中两组纯净颜料样本, 五组混合颜料样本, 如图1所示。 将七组颜料样本分别均匀平铺于黑纸上, 保持黑纸平整, 然后采用SVC HR-1024i便携式光谱仪分别测得这七组颜料样本的光谱, 为保证数据质量每组颜料样本均至少测量两次。 光谱实验示意图如图2所示, 在实验过程中精确控制实验条件, 其中主要参数如表2所示。

表1

Table 1

表1(Table 1)

表1 颜料样本中石青和石绿的体积比例 Table 1 Volume ratio of azurite and malachite in pigment samples 样本 石青体积比例/% 石绿体积比例/% 1 100 0 2 90 10 3 70 30 4 50 50 5 30 70 6 10 90 7 0 100

表1 颜料样本中石青和石绿的体积比例 Table 1 Volume ratio of azurite and malachite in pigment samples

图1

Fig.1

	Figure Option ViewDownloadNew Window
	图1 石青-石绿颜料样本Fig.1 Azurite and malachite pigment samples

图2

Fig.2

	Figure Option ViewDownloadNew Window
	图2 光谱实验示意图Fig.2 Schematic diagram of spectra experiment

表2

Table 2

表2(Table 2)

表2 光谱实验主要参数 Table 2 Main parameters of spectra experiment 主要参数 数值(单位) 入射光线天顶角θ 20° 光源至颜料样本高度H 65 cm 光源至颜料样本水平距离L 23.7 cm 光纤视场角FOV 25° 颜料样本直径d 5 cm 颜料样本厚度δ 2 mm 光纤观测高度D 6.5 cm

表2 光谱实验主要参数 Table 2 Main parameters of spectra experiment

实验数据处理与分析流程如图3所示, 主要分为以下几个步骤:

(1)数据预处理: 对原始光谱数据进行预处理操作, 得到反射率光谱。

(2)混合光谱解混: 分别采用全约束最小二乘法和比值导数解混算法进行混合颜料端元丰度的反演, 然后计算均方根误差RMSE, 评定精度。

(3)结果分析: 根据两种算法的解混精度高低判断分析石青、 石绿两种矿物颜料的光谱混合模型及其混合光谱特征, 最终得出结论。

对原始光谱数据进行重叠区域去除、 光谱重采样、 取平均值等预处理操作, 用Matlab软件对波长及反射率数据进行绘图, 得到如图4所示的七条反射率光谱, 其中包括两条端元光谱, 五条混合光谱。 其中, 混合光谱介于两条端元光谱之间, 且随着颜料成分比例的变化其特征逐渐向所占比例较高的端元光谱特征靠拢^[12]。

图3

Fig.3

	Figure Option ViewDownloadNew Window
	图3 数据处理与分析流程图Fig.3 Flow chart of data process and analysis

图4

Fig.4

	Figure Option ViewDownloadNew Window
	图4 石青-石绿颜料样本的反射率光谱Fig.4 The reflectance spectra of azurite and malachite samples

依据端元光谱, 用全约束最小二乘法(FCLS)对混合光谱进行全波段光谱解混, 可以得到两个端元石青、 石绿各自的丰度值, 然后计算反演出的端元丰度与实际丰度的均方根误差(RMSE), 如表3所示。

表3

Table 3

表3(Table 3)

表3 全约束最小二乘法丰度反演结果 Table 3 Abundance inversion results of full constrained least square 端元 丰度值 10%石绿+ 90%石青 30%石绿+ 70%石青 50%石绿+ 50%石青 70%石绿+ 30%石青 90%石绿+ 10%石青 RMSE 石青 反演丰度 0.691 0 0.411 9 0.236 0 0.143 0 0.040 8 实际丰度 0.900 0 0.700 0 0.500 0 0.300 0 0.100 0 石绿 反演丰度 0.309 0 0.588 1 0.764 0 0.857 0 0.959 2 0.190 6 实际丰度 0.100 0 0.300 0 0.500 0 0.700 0 0.900 0 丰度差值 0.209 0 0.288 1 0.266 4 0.157 0 0.059 2

表3 全约束最小二乘法丰度反演结果 Table 3 Abundance inversion results of full constrained least square

从上面结果可以看出, 全波段光谱解混反演出的石青、 石绿端元丰度与实际的丰度值相差较大, 均方根误差达到0.190 6, 解混精度较低, 这表明石青、 石绿这两种矿物颜料的光谱混合从总体上来说不符合线性混合模型, 非线性混合特征比较强。

依据端元光谱, 再用比值导数解混算法对混合光谱进行单波段光谱解混: 首先将混合光谱分别除以两个端元光谱得到比值光谱, 再各自求导, 得到比值导数光谱, 然后按照式(5)和式(6), 任一波段均可计算得到两个端元石青、 石绿各自的丰度值^[12]。 但是在实际的数据处理中, 并不是各个波段都符合线性混合模型, 强线性波段是反射率光谱值与端元丰度线性关系较强的波段, 反演得到的端元丰度与实际丰度之间的误差比较小的波段, 就可以判断为强线性波段^[13]。

计算各个波段反演出的端元丰度与实际丰度的均方根误差(RMSE), 按照从低到高的顺序进行排序, 得到解混精度最高的20个波段, 即为强线性波段, 如表4所示。 为了更直观地分析强线性波段的分布特征, 将石青、 石绿的强线性波段分别在反射率光谱上标记显示, 如图5所示。

表4

Table 4

表4(Table 4)

表4 石青和石绿的强线性波段及其均方根误差 Table 4 Strong linear bands of azurite, malachite and their root mean square errors 石青 石绿 波长 /nm RMSE 波长 /nm RMSE 波长 /nm RMSE 波长 /nm RMSE 2 325 0.009 21 995 0.015 95 482 0.002 74 484 0.012 84 483 0.009 38 996 0.015 95 481 0.006 82 2 299 0.013 11 2 324 0.011 62 2 366 0.017 09 483 0.008 48 480 0.013 84 484 0.013 03 2 323 0.017 32 2 279 0.008 59 2 276 0.015 17 482 0.013 04 2 297 0.017 34 2 280 0.010 19 2 368 0.015 69 2 295 0.014 50 2 298 0.017 40 2 281 0.011 05 485 0.016 79 2 365 0.014 56 2 304 0.018 44 2 277 0.011 32 2 319 0.017 51 485 0.014 94 481 0.019 30 2 367 0.011 54 2 300 0.018 03 2 294 0.015 00 2 296 0.019 88 2 278 0.011 91 2 324 0.018 44 2326 0.015 49 486 0.019 99 2 298 0.012 38 2 369 0.019 14

表4 石青和石绿的强线性波段及其均方根误差 Table 4 Strong linear bands of azurite, malachite and their root mean square errors

从上面结果可以看出, 单波段光谱解混提取出的强线性波段的均方根误差均在0.02以内, 精度远远高于全波段光谱解混的结果, 表明在这些波段石青、 石绿两种矿物颜料的光谱混合基本符合线性混合模型, 具有较强的线性混合特征, 利用这些强线性波段采用比值导数法解混, 可以得到远高于全波段解混精度的定量分析结果。

图5

Fig.5

	Figure Option ViewDownloadNew Window
	图5 强线性波段在反射率光谱上的分布 (a): 石青的强线性波段; (b): 石绿的强线性波段Fig.5 Distribution of strong linear bands on reflectance spectra (a): Strong linear bands of azurite; (b): Strong linear bands of malachite