为了准确获得物点的光谱信息, 需要建立相应的数学模型进行光谱重建。 光谱重建的数学模型如图4所示^[10]。

图4

Fig.4

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	图4 量子点光谱成像系统数学模型Fig.4 Mathematical model of quantum dots spectral imaging system

任意的入射光谱ϕ (λ ), 通过n_F个不同量子点, 由式(1)可得每一种量子点调制后的透射光强I_i为

Ii=∫abT'i(λ)ϕ(λ)dλ i=1, 2, …, nF(2)

式中T'_i(λ )=T_i(λ )d(λ ), 其中T_i(λ )是不同量子点关于波长的透过率函数, d(λ )是图像探测器对波长的响应函数。

为了获得式(2)的数值解, 我们先将连续的入射光谱分成由n_λ 个离散波长组成, 得到式(3)为

Ii=∑jnλT'i(λj)ϕ(λj)Δλj j=1, 2, …, nλ(3)

式(3)中, 离散波长的光谱谱段间隔为Δ =(b-a)/(n_λ -1)和λ _j=a+(j-1)× Δ 。 当j=1和n_λ 时, Δ λ _j=Δ /2; 当j为其他数值时, Δ λ _j=Δ 。 在给定波长范围的情况下, 增加离散波长的数量, 可以增加光谱分辨率。

为了能够更好的阐述, 我们将式(3)得到的一组方程写成矩阵形式

T'(λ)ϕ'(λ)=I(4)

式(4)中, ϕ '(λ )=(ϕ (λ ₁)Δ λ ₁, ϕ (λ ₂)Δ λ ₂, …, ϕ (λ _j)Δ λ _j)^T, 数据向量I∈ R^{i× 1}由入射光谱通过量子点后所形成的光强所组成, 数据矩阵T'(λ )∈ R^{i× j}中每一行表示量子点不同波长的光谱吸收率。 行数i表示我们之前所提到的量子点数量。 未知量ϕ '(λ )∈ R^{j× 1}, 未知量的行数j代表离散波长数量, j值越多, 光谱分辨率越高。

在理想情况下, 入射光谱的离散波长数量n_λ 和量子点数量n_F相等, 线性方程组(4)有唯一解。 近似的解决方法可以利用最小二乘线性回归的计算方法获得该入射光谱曲线ϕ (λ )。 在实际测量过程中, 会存在一定的观测误差或噪声, 即I=I₀+n, 其中I₀和n分别为无误差数据向量和误差向量。 将式(4)加入误差向量可以得到如式(5)。

T'(λ)ϕ'(λ)+n=I(5)

由于测量误差和系统噪声的存在, 使式(5)的方程组是病态的, 重建之后的光谱与入射光谱相差较大。 为了能够更好的重建光谱, 算法的选取将是决定性的因素。 在此利用最小二乘法^[11]得到最优解。

最小二乘法的核心思想是求出的解向量ϕ '(λ )能够使矩阵方程两边的误差平方和最小^[12]。 于是矩阵方程T'(λ )ϕ '(λ )=I的普通最小二乘解为

ϕ'(λ)OLS=argminϕ'(λ)‖T'(λ)ϕ'(λ)-I‖22(6)

对于超定矩阵的满列秩, 即rank(T'(λ ))=j, 由于T'(λ )^TT'(λ )非奇异, 所以方程有唯一解为^[12]

ϕ'(λ)OLS=(T'(λ)TT'(λ))-1T'(λ)TI, ϕ'(λ)OLS≥0(7)

令T'(λ )=UΣ V^H是矩阵T'(λ )的奇异值分解, 从而得到普通最小二乘解为^[12]

ϕ'(λ)OLS=VΣ-1UHI, ϕ'(λ)OLS≥0(8)

在最小二乘法求解过程中, 可以转换为迭代的方法进行求解。 令初始解向量为ϕ '(λ )OLS0=0, 可以用以下公式进行更新, 其中ϕ '(λ )nOLS≥ 0, n为迭代次数。

ϕ'(λ)OLSn+1=ϕ'(λ)OLSn+(T'(λ)TT'(λ))-1T'(λ)T×(1-T'(λ)ϕ'(λ)OLSn)(9)

同样, T'(λ )=UΣ V^H是矩阵T'(λ )的奇异值分解, 代入迭代式(9)中可得

ϕ'(λ)OLSn+1=ϕ'(λ)OLSn+VΣ-1UH(1-UΣVHϕ'(λ)OLSn)(10)

利用ϕ '(λ )=(ϕ (λ ₁)Δ λ ₁, ϕ (λ ₂)Δ λ ₂, …, ϕ (λ _j)Δ λ _j)^T和求解得到的ϕ '(λ ), 可以得到向量(ϕ (λ ₁), ϕ (λ ₂), …, ϕ (λ _j))^T, 即物点的入射光谱ϕ (λ )。

光谱分辨率是指光谱成像系统各谱段的带宽, 若光谱分的愈细, 探测的波段愈多, 波段间的间隔愈小, 光谱分辨率愈高^[13]。 为了更好的分析重建光谱的分辨率, 分别对不同双峰间隔的入射光谱进行重建, 能够识别的双峰间隔越小, 则光谱分辨率越高^[8]。 在光谱分辨率分析的仿真实验中, 入射光谱的峰值光强(最大值)为1。 如图5— 图7表示的是在噪声水平σ =0.000 01^[8]的情况下, 不同谱段间隔和双峰间隔的入射光谱与重建光谱。

图5

Fig.5

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	图5 光谱谱段间隔3 nm, 双峰间隔分别为5, 4.5 nm和4 nmFig.5 The spectral interval is 3 nm, and the interval between two peaks is 5, 4.5 and 4 nm respectively

图6

Fig.6

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	图6 光谱谱段间隔2.5 nm, 双峰间隔分别为4.5, 4和3.5 nmFig.6 The spectral interval is 2.5 nm, and the interval between two peaks is 4.5, 4 and 3.5 nm respectively

图7

Fig.7

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	图7 光谱谱段间隔2 nm, 双峰间隔分别为4, 3.5和3 nmFig.7 The spectral interval is 2 nm, and the interval between two peaks is 4, 3.5 and 3 nm respectively

从图5— 图7的结果来看, 重建光谱的光谱谱段间隔为3 nm、 双峰间隔为5 nm的时候, 能够有效的识别双峰位置; 当双峰间隔为4.5 nm时, 虽然丢失了一些光谱信息, 但依然可以很好地识别; 随着双峰的间隔减小到4 nm时, 已经不能识别出双峰。 因此, 当谱段间隔为3 nm时, 可识别的双峰间隔为4.5 nm。 同样, 重建光谱的谱段间隔为2.5和2 nm时, 可识别的双峰间隔分别为4和3.5 nm。 由此发现, 重建光谱的光谱谱段间隔越小, 可识别的双峰间隔越小, 重建光谱的分辨率越高。 在本文中, 光谱谱段间隔最小值等于光谱范围与量子点数量的比值, 量子点数量越多, 可以获得的光谱谱段间隔越低, 光谱分辨率越高。

如图8为不同噪声水平的光谱重建, 重建光谱的谱段间隔2 nm。 图中(a), (b), (c)和(d)的随机噪声水平分别为0, 0.000 01, 0.000 015和0.000 02^[8]。 图8的结果表明, 在噪声水平为0, 重建光谱与入射光谱很好的匹配; 在噪声水平σ =0.000 01, 重建光谱与入射光谱有极小的差别; 随着噪声水平增加到0.000 015, 入射光谱与重建光谱的差异增大, 然而双峰的位置依然能够识别; 当噪声水平增加到0.000 02时, 最后的仿真结果为一个宽谱峰, 无法对双峰位置进行识别, 失去了准确性。 因此, 重建光谱的准确性和分辨率随着噪声水平的增大而降低。

图8

Fig.8

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	图8 不同噪声水平的光谱重建Fig.8 Spectral reconstruction at different noise levels

为了分析量子点光谱成像系统对重建目标图像空间信息和光谱信息的有效性和重建光谱的准确性, 采用高光谱成像仪获取目标物的三维数据立方体作为仿真实验中的入射光谱, 谱段间隔为0.5 nm, 空间样本大小为200× 200像素, 入射光谱的峰值强度为2 048坎德拉, 使用最小二乘完成所有像素的光谱重建, 形成重建后的数据立方体, 对其进行光谱分割获得某一波段的单波长图像, 选取特征物分析光谱的准确性和单波长图像的成像质量。

通常采用有效均方误差(mean square error, MSE)来评价重建光谱的准确性, 其表达式为

MSE=1nλ∑j=1nλ(ϕ(λj)-φ(λj))2(11)

式(11)中, ϕ (λ _j)为计算所得的参数, φ (λ _j)为原始的光谱参数。 也可以采用相对光谱二次误差(relative spectral quadratic, RQE)分析特征地物光谱的失真度, 如式(12)所示

RQE=∑(ϕ(λ)-φ(λ))2∑φ(λ)(12)

式(12)中, φ (λ )为原始数据, ϕ (λ )为重建数据, RQE越大, 失真度越大^[14]。

对单波长图像进行误差分析, 最常用的方法是有效均方误差(MSE)和峰值信噪比(peak signal-to-noise ratio, PSNR), 其对应公式如式(13)和式(14)所示

MSE=1MN∑j=1M∑i=1N(ϕ(λ)ij-φ(λ)ij)2(13)PSNR=10logL2MSE(14)

式中M和N分别表示图像的行数和列数, ϕ (λ )_ij为通过计算和光谱分离得到的参数, φ (λ )_ij为原始的单波长光谱参数, L为图像中光强最大的值。

如图9所示为谱段间隔为2 nm, 噪声水平σ =0.003^[8], 图9(a)为图像中特征物红旗上某一点[坐标为(87, 100)]的入射光谱, 图9(b)为重建后图像中同一点的光谱, 图9(c)为光谱分割后598 nm的单波长入射图像, 图9(d)为光谱重建后的单波长图像。 如图10(a)图为原入射光谱的彩色合成图, 图10(b)为重建之后的彩色合成图。 从图中数据发现, 重建后的特征物光谱的MSE为412.906 9, RQE为0.21127%< 1%^[15], 重建光谱与入射光谱的差异较低。 重建后单波长图像的MSE为386.824, PSNR为44.751 7。 无论从光谱还原效果还是单波长图像质量来看, 最小二乘法在量子点光谱成像中的还原效果较好, 进一步验证了量子点光谱成像系统的可行性以及重建算法的正确性。

图9

Fig.9

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	图9 目标物光谱重建Fig.9 Spectral reconstruction of the target object

图10

Fig.10

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	图10 入射光谱和重建谱的彩色合成Fig.10 Color synthesis of the incident and reconstructed spectra

如图11所示为同一特征地物不同噪声水平和不同光谱谱段间隔下光谱的MSE值和RQE值。 观察图中曲线趋势发现: 首先, 相同的光谱谱段间隔下, 噪声水平越低, MSE值越低, RQE越低, 重建光谱的相似度越高, 失真度越低; 其次, 相同噪声情况下, 当重建光谱失真度较低时, 提高光谱谱段间隔可能不会获得更好的效果, 当重建光谱的效果不好时, 适当的提高重建光谱的光谱谱段间隔, 将有效降低MSE值和RQE值, 提升重建光谱的准确性, 增强系统的容噪能力。 提高光谱谱段间隔, 相当于降低T'(λ )的满列秩与矩阵T'(λ )的行数(量子点数量)的比值。 因此, 在相同的光谱谱段间隔下, 适当的提高量子点数量, 同样可以提高重建光谱的准确性, 增强系统的容噪能力。

图11

Fig.11

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	图11 不同噪声和光谱谱段间隔的MSE值和RQE值的比较Fig.11 The comparison of MSE value and RQE value of different noises and spectral intervals