基于B样条的TERS形貌成像背景扣除方法
范贤光1, 王小东1, 王昕1,*, 许英杰1, 阙靖1, 汤明1, 何浩1, 左勇2
1. 厦门大学航空航天学院, 福建 厦门 361005
2. 北京长城计量测试技术研究所国防科技工业第一计量测试研究中心, 北京 100095
*通讯联系人 e-mail: xinwang@xmu.edu.cn

作者简介: 范贤光, 1980年生, 厦门大学航天航空学院副教授 e-mail: fanxg@xmu.edu.cn

摘要

在针尖增强拉曼光谱(TERS)形貌成像过程中, 由于针尖与扫描台无法绝对平行、 样品电子密度骤变处针尖快速升降以及扫描控制系统响应时间特性差等综合原因的影响, 往往使形貌图中带有倾斜或边界面卷曲的成像背景。 成像背景对样品形貌的识别和分析带来十分不利的影响, 而背景扣除就是解决该问题的重要手段, 也是形貌成像预处理的重要组成部分。 背景扣除的原理一般是通过拟合背景的方法来扣除成像中的背景。 传统的背景扣除方法是利用多项式拟合的方法对成像进行逐行的基线校正, 但是该方法在处理形貌成像时常常会由于过拟合而造成样品形貌的失真, 同时容易在图片上留下明显的线条纹理。 针对传统方法的缺点, 本文提出采用B样条曲面拟合方法, 直接对样品形貌图进行曲面背景拟合, 发挥B样条低阶光滑的优点, 能够有效克服传统方法的缺陷。 在实验中, 同时利用传统方法和该方法对金单晶和合成金片的形貌图进行背景扣除, 实验结果表明, 两种方法都能够扣除样品形貌图中的成像背景, 但与传统方法相比, 所提出的方法不会造成样品形貌的失真, 且不会留下线条纹理, 获得了更加良好的背景扣除效果, 为进一步分析样品形貌特征提供了更准确可靠的信息, 是一种更加有效的TERS形貌成像背景扣除算法。

关键词: 背景扣除; TERS成像; 形貌图; B样条曲面
中图分类号:O657.37 文献标志码:A
Background Subtraction Method of TERS Topography Imaging Based on B-Spline
FAN Xian-guang1, WANG Xiao-dong1, WANG Xin1,*, XU Ying-jie1, QUE Jing1, TANG Ming1, HE Hao1, ZUO Yong2
1. School of Aerospace Engineering, Xiamen University, Xiamen 361005, China
2. Changcheng Institute of Metrology & Measurement, The 1st Metrology & Measurement Research Center of National Defense Science Industry of China, Beijing 100095, China;
Abstract

In the topography imaging of Tip-Enhanced Raman Spectroscopy, the difficulty of keeping the tip and the scan stage absolutely parallel, the fast change of the height of the tip due to the quick variety of the electron density, and the long response time of the scanning control system result in imaging background with inclined or boundary curly. Imaging background would bring a negative impact to the identification and analysis of the sample’s topographic image, while background subtraction is an important means to solve this problem, which is also an important part of topographic image’s preprocessing. The general principle of background subtraction is to fit the topographic image’s background firstly and then subtract it from the image. The traditional fitting method is polynomial fitting line by line, but this method will always destroy the sample’s actual spatial topography by over-fitting, and it is prone to leave clear line texture on the image. In this paper, the traditional method was improved, and the B-spline surface fitting method was used to approach the background of topographic image through constant iteration. The advantage of B-spline surface, namely low-order and smoothness, can help the method overcome the disadvantages of traditional polynomial method. In the experiments, the topographic image of Au (111) single-crystal and synthetic golden slice were detected, and then the proposed method and the traditional method were applied to perform background subtraction. Experimental results showed that the proposed method can eliminate the topographic image’s background effectively without destroying the sample’s actual spatial topography by over-fitting and leaving line texture on the image. Therefore, the proposed method provided more accurate and reliable information for the further analysis of topographic images, and it’s a more effective background subtraction method of TERS topography imaging.

Keyword: Background subtraction; TERS imaging; Topographic image; B-spline surface

引 言

针尖增强拉曼光谱技术(tip-enhanced Raman spectroscopy, TERS)将扫描探针显微镜与表面增强拉曼光谱技术结合起来, 既拥有扫描探针显微镜的超高分辨率, 又兼具拉曼光谱技术直接获得物质成分和结构信息的优势, 能够实现对样品表面纳米尺度的形貌表征和纳米局域拉曼光谱的探测[1]

扫描隧道显微镜(scanning tunneling microscope, STM)是一种基于量子隧道效应的扫描探针显微镜, 由美国IBM的Zurich研究所的Binning和Rohrer等于1982年研制[2]。 作为一种扫描探针显微镜, 扫描隧道显微镜具有原子级超高分辨率、 对样品无损伤、 可实时获得样品表面三维形貌图等优点[3], 是研究表面微观结构的强有力工具和当前纳米材料表面分析的主要仪器[4]

然而, 利用扫描隧道显微镜所获得的样品表面形貌图像常常带有背景干扰。 扫描探针与扫描台无法达到纳米级的垂直精度使形貌图中带有倾斜平面背景; 同时在样品边缘处隧道电流随着电子密度的减小而骤减[5]导致扫描探针快速下降, 再加上显微镜控制系统瞬态响应时间[6]的影响, 常常使形貌图两侧边缘处带有向下卷曲的背景。 这些背景相对于纳米尺度的样品来说是巨大的干扰, 将严重影响样品形貌特征的识别和分析。 减小背景干扰的方法主要包括两个方面, 仪器改良和数学计算。 仪器改良的方法是提高电子显微镜的制造精度和系统控制精度, 难以实现且成本非常高, 而数学计算则成本较低且效果良好。 在数学计算方法中, 目前许多已经商业化的TERS仪器中最常用的方法是利用多项式拟合方法对形貌图进行逐行的基线校正从而达到背景扣除的目的。 然而, 该方法存在一些缺陷: 常常会由于过拟合的背景扣除而造成样品形貌的失真; 同时, 容易在图片上留下明显的线条纹理。 因此, 本文针对上述问题, 提出一种基于张量积B样条曲面拟合的背景扣除方法, 利用B样条拟合方法低阶光滑[7], 且为分段拟合的优点, 有效地克服了传统背景扣除方法的缺点, 从而得到了较好的背景扣除效果。

1 理 论
1.1 张量积B样条曲面拟合

B样条方法以其低阶光滑的特性, 被广泛地应用于自由曲线曲面的造型中。张量积B样条曲面拟合是指在各个方向上均采用曲线拟合从而得出曲面方程的曲面构造方法[8]。 给定三维空间中的一系列数据点{(xα , yβ , zα , β ) }α=1mβ=1n, 其中{(xα ) }α=1m和{(yβ ) }β=1n是笛卡尔坐标系中两个相互独立的单调递增坐标, 而{(zα , β ) }α=1mβ=1n是这些坐标处的值, 这些数据点构造出一个三维曲面。

假设x∈ (a1, b1), y∈ (a2, b2), 我们用两组单调不减的序列节点来切分平面区域R=[a1, b1]× [a2, b2]

tx-k+1a1=tx0< tx1< <  txM< txM+1=b1txM+kty-k+1a2=ty0< ty1< <  tyN< tyN+1=b2tyN+k(1)

其中 {txu}u=0M+1, {tyv}v=0N+1为内节点, 而其余节点则被称为外节点, 传统上节点的选取是均匀分布的。B样条的拟合次数为k次(k+1阶), 本文的方法中k取3。规定用 Bu, txk(x)来表示x方向上的第u个k次B样条基函数[9], 其定义如下

Bu, tx1(x)=1, txu< xtxu+10, 其他Bu, txk(x)=x-txutxu+k-1-txuBu, txk-1(x)+txu+k-xtxu+k-txu+1Bu+1, txk-1(x)(2)

同理可以用相同形式的 Bv, tyk(y)来表示y方向上的第vk次B样条基函数。 而由此可构造出三维空间上的张量积B样条曲面方程

z(x, y)=u=-k+1Mv=-k+1Ncu, vBu, txk(x)Bv, tyk(y)(3)

其中cu, v即为要求解的系数矩阵。 对式(3)采用最小二乘逼近方法[10], 即找出能使式(4)中的δ 取最小值的系数矩阵cu, v

δ=α=1mβ=1nzα, β-u=-k+1Mv=-k+1Ncu, vBu, txk(x)Bv, tyk(y)2=min(4)

若直接对式(4)进行求解, 涉及到对由 Bu, txk(x), Bv, tyk(y)共同组成的矩阵进行矩阵求逆运算, 运算量巨大。 为了降低算法的复杂性和减小运算量, 考虑到曲面方程为张量积形式的, 本文将曲面方程的求解分解成xy两个方向上的曲线方程求解[11]。 先固定x方向, 用最小二乘法来求解y方向上的B样条曲线方程

δα=β=1nzα, β-v=-k+1Ncu, vu=-k+1MBu, txk(x)Bv, tyk(y)2=β=1nzα, β-v=-k+1Nηα, vBv, tyk(y)2=min(5)

得出式(5)中的η α , v, 然后如式(6)所示再用最小二乘法求解x方向上的B样条曲线方程, 从而得到系数矩阵cu, v的解。

δ=α=1mηα, v-cu, vu=-k+1MBu, txk(x)2=min(6)

cu, v代入式(3)即可得到拟合出的张量级B样条曲面方程。

通过以上方法, 将三维的B样条曲面最小二乘求解转换成两个二维的B样条曲线最小二乘求解, 大大减小了算法复杂度和运算量。

1.2 最小二乘递归算法

先讨论常规二维B样条曲线的最小二乘解, k次B样条曲线[12]可以表示为

yα=u=-k+1LcuBu, txk(xα)+eα=u=-k+1Lcupα, u+eα, α=1, 2, , l(7)

其中cuL+K维的系数向量, pα , u代表B样条基函数 Bu, txk(xα ), eα 是拟合误差, E[eα ]=0, D[eα ]= σα2, E[eα 1eα 2]=0, α 1≠ α 2。 式(7)也可以表示为矩阵形式

Yl=PlC+El(8)

其中Yl=[y1, y2, …, yl]T, C=[c-k+1, c-k+2, …, cL]T为系数向量, El=[e1, e2, …, el]T为拟合误差向量, Pl= p1, -k+1p1, -k+2p1, Lp2, -k+1p2, -k+2p2, Lpl, -k+1pl, -k+2pl, L为B样条基函数矩阵。

要使最小二乘判定标准J=[Gl-PlC]T[Gl-PlC]最小, 必有 JC=0。 由此可得系数向量的解为

C˙=[PTlPl]-1PTlGl(9)

为了消除式(9)中复杂的矩阵求逆运算, 可以将式(9)转换成递归形式[13]。 假设 C˙iC经过i(i=0, 1, 2, …, l)次数据迭代以后得出的估计值, 则可知

C˙i+1=[PTi+1Pi+1]-1PTi+1Gi+1[PTi+1Pi+1]C˙i+1=PTi+1Gi+1(10)

Mi+1=[ pi+1, -k+1pi+1, -k+2pi+1, L], 则有Pi+1= PiMi+1, PTi+1Pi+1= PTiPi+ MTi+1Mi+1PTi+1Gi+1= PTiGi+ MTi+1gi+1, 式(10)可转换为式(11)。

[PTiPi+MTi+1Mi+1][C˙i+(C˙i+1-C˙i)]=[PTiGi+MTi+1gi+1](11)

Gi=Pi C˙i代入式(11)得到式(12)

C˙i+1=C˙i+[PTiPi+MTi+1Mi+1]-1[PTiPiC˙i+MTi+1gi+1]-[PTiPi+MTi+1Mi+1]-1[PTiPi+MTi+1Mi+1]C˙i=C˙i+[PTiPi+MTi+1Mi+1]-1MTi+1(gi+1-Mi+1C˙i)(12)

式(12)是递归形式的, 但仍然没有消除复杂的矩阵求逆运算, 为此我们令Qi=[ PTiPi]-1, 则可知

Qi+1=[PTi+1Pi+1]-1=[PTiPi+MTi+1Mi+1]-1=[Qi-1+MTi+1Mi+1]-1=Qi-QiMTi+1(1+Mi+1QiMTi+1)-1Mi+1Qi(13)

式(13)中应用了矩阵伪逆引理, Mm+1Qm MTm+1是一个实数, 从而消除了复杂的矩阵求逆运算。 据此可得出递归且不带矩阵求逆运算形式的张量积B样条曲面系数矩阵C的求解公式

C˙i+1=C˙i+Qi+1MTi+1(gi+1-Mi+1C˙i)(14)

1.3 基于B样条曲面的背景扣除方法

本文利用张量积B样条曲面循环逼近STM形貌图的背景曲面, 原始形貌图扣除拟合出的背景后即得到背景扣除后的形貌图像。 整个算法的原理如图1所示, 具体步骤如下:

(1) 扫描样品获得样品的形貌图像矩阵数据S0作为初始值, 令z0=S0;

(2) 对z0使用3× 3阶B样条进行曲面拟合, 得到拟合曲面矩阵数据zn;

(3) 比较z0zn矩阵每个点处的大小, 取较小的点赋值给zn;

(4) 计算znz0的相对误差, 若小于迭代阈值ζ , 则判定zn为形貌图像的背景, 否则, 令z0=zn, 返回步骤2继续循环执行, 直到满足条件为止;

(5) 将背景zn从原始图像数据S0中减去, 获得扣背景后的形貌图像数据Scorrect

图1 B样条曲面拟合扣背景流程图Fig.1 Process of background subtraction by B-spline surface fitting

2 实验部分
2.1 材料及仪器

实验部分所选取的扫描样品有四种, 分别为Au(111)金单晶、 合成金片、 光栅和二硫化钼。 以下将通过金单晶和合成金片的实验来说明算法的有效性, 而增加光栅和二硫化钼的实验来证明算法的普适性。

金单晶由火焰退火法烧制而成并用电化学法抛光使其拥有较为平整的平面[14]; 而合成金片则使用Deckert-Gaudig和Deckert所介绍的方法, 在平整的玻璃薄片上覆盖一层纳米金片粘合而成[15]。 选取这两种材料作为样品的原因是: 金单晶样品中存在许多连续的小台阶分界面, 合成金片样品中则存在十分典型的大跨度台阶面。 若能处理好这两种典型类型样品的背景, 那么算法的有效性和普适性都将得到充分的证明。

实验仪器为俄罗斯NT-MDT公司的NTEGRA光谱仪, 该仪器为针尖增强拉曼光谱仪, 可同时对样品进行形貌图成像和拉曼成像, 支持STM, AFM和SFM等多种电子显微镜模式。 本次实验中用到的数据都仅使用该仪器的STM模块来获取样品的形貌图像, 扫描采用恒电流模式, 对穿电流400~600 pA, 偏置电压200~300 mV, 扫描速率0.8 Hz, 扫描点数256× 256, 扫描范围500 nm× 500 nm。

2.2 结果分析

通过实验扫描出多张金单晶和合成金片的形貌图, 都不可避免地带有背景干扰, 最典型常见的两种背景为卷曲背景和类平面倾斜背景。 本文选取一张带有卷曲背景的金单晶形貌图(图2)和一张带有类平面倾斜背景的合成金片形貌图(图3)作为本次实验的处理对象。 在形貌图中我们希望获得清晰真实的台阶分界面以便于识别出样品所在区域和样品的边界特征, 为进一步分析样品的形貌特征提供准确可靠的信息。 但原始形貌图中, 图像整体色差严重, 背景的存在使样品失去了真实的形貌信息。 同时图像中存在多处高亮和过暗的区域, 严重时可能会影响对这些区域处的形貌细节特征的识别。

图2 金(111)单晶二维、 三维原始形貌图Fig.2 The 2-D (a) and 3-D (b) original topography image of Au(111) single-crystal

图3 合成金片二维、 三维原始形貌图Fig.3 The 2-D (a) and 3-D (b) original topography image of synthetic golden slice

用本文的算法来处理这两张原始形貌图, B样条曲面的阶数为3× 3阶, 内节点个数为2× 2个, 均匀划分内节点, 迭代阈值ζ 设置为0.5。 图4和图5为经过本文的算法处理扣除背景后得到的金单晶和合成金片的二维、 三维形貌图。 从二维形貌图中可以看出原始图像中的色差被消除, 还原了真实的样品台阶分界面, 且样品台阶两端对比鲜明; 图像中也不存在由背景干扰而带来的高亮和过暗区域。 从三维形貌图中可以看出, 扣除背景后的形貌图像十分平整, 原始图像中的卷曲背景和类平面倾斜背景都被除去。 经过本文算法处理扣背景后的图像效果良好, 可用于对样品形貌进行更深入的识别和分析。

图4 B样条曲面拟合扣背景后金(111)单晶二维、 三维形貌图Fig.4 The 2-D (a) and 3-D (b) topography of Au(111) single-crystal after background subtraction by B-spline surface fitting

图5 B样条曲面拟合扣背景后合成金片二维、 三维形貌图Fig.5 The 2-D (a) and 3-D (b) topography of synthetic golden slice after background subtraction by B-spline surface fitting

选取传统的逐行多项式拟合算法与本文算法进行比较, 多项式拟合次数为4。 图6和图7给出了使用传统扣背景算法处理后得到的金单晶和合成金片的二维、 三维形貌图。 虽然用传统的扣背景方法也能扣去原始图像中的背景, 获得平整的形貌图, 消除图像的色差, 但处理后的图像都存在许多问题。 从图6金单晶二维、 三维形貌图中可以看出由于过拟合导致金单晶台阶分界面两边的形貌对比十分不明显, 很难识别出台阶两端的高度差特征。 从图7(a) 合成金片的二维形貌图中可以看出由于是逐行进行扣除的, 导致形貌图中留下了十分明显的线条纹理, 这是传统扣背景算法的一个重大缺陷。 从图7(b)合成金片的三维形貌图中可以看出由于过拟合导致合成金片的台阶分界面塌陷, 形貌严重失真。

图6 多项式拟合扣背景后金(111)单晶二维、 三维形貌图Fig.6 The 2-D (a) and 3-D (b) topography of Au(111) single-crystal after background subtraction by polynomial curve fitting line by line

图7 多项式拟合扣背景后合成金片二维、 三维形貌图Fig.7 The 2-D (a) and 3-D (b) topography of synthetic golden slice after background subtraction by polynomial curve fitting line by line

为了进一步证明算法的普适性, 用本文的算法来处理光栅和二硫化钼样品的形貌图, B样条曲面的阶数为3× 3阶, 内节点个数为2× 2个, 均匀划分内节点, 迭代阈值ζ 设置为0.5。 图8为光栅样品原始及处理后的形貌图, 在原始形貌图中由于背景的存在导致光栅样品的边界台阶十分不清晰, 而经过本文算法处理后整个光栅样品的边界台阶都清晰可见。 图9为二硫化钼样品原始及处理后的形貌图, 在原始形貌图中整个二硫化钼样品几乎完全被背景淹没, 而经过本文算法处理后整个样品的边界台阶都清晰可见。

图9 B样条曲面拟合扣背景前、 后二硫化钼形貌图Fig.9 The topography of molybdenum disulfide before (a) and after (b) background subtraction by B-spline surface fitting

图8 B样条曲面拟合扣背景前、 后光栅形貌图Fig.8 The topography of grating before (a) and after (b) background subtraction by B-spline surface fitting

综上所述, 采用B样条曲面拟合背景扣除方法, 充分利用了B样条的低阶光滑特性, 克服了传统多项式逐行扣除算法的缺陷, 不会在图像上留下线条纹理, 也不会由于过拟合的背景扣除而造成样品台阶面和形貌的失真。 该算法能够很好地扣除典型的卷曲背景和类平面倾斜背景, 获得较好的背景扣除效果。 实验中处理了四组不同样品的形貌图, 都获得了较理想的效果, 算法的普适性也得到了充分的证明。

3 结 论

提出了一种基于张量积B样条曲面拟合的背景扣除方法, 利用B样条以固定的阶次循环迭代拟合TERS形貌图像的背景干扰, 并将其扣除。 与传统的多项式逐行扣除算法相比, 本文的方法不会在图像上留下线条纹理, 也不会由于过拟合的背景扣除而造成样品台阶面和形貌的失真。 实验部分通过处理带有卷曲背景以及连续小台阶的金单晶样品的形貌图和带有类平面倾斜背景以及大跨度台阶的合成金片样品的形貌图, 算法的有效性得到了充分的证明; 又通过处理光栅和二硫化钼样品的形貌图证明了算法的普适性。 因此, 本文所提出的算法能够较好地实现TERS形貌图像的背景扣除, 是一种有效、 普适的TERS形貌图像背景扣除算法。

The authors have declared that no competing interests exist.

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